Use o teste da razão para verificar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2 2^nn!

Passo 1

Vamos verificar a convergência da série sumn=1^infty(-1)^n+1n^22^nn! usando o teste da razão. O conteúdo aqui é o teste da razão, em que comparamos os termos an e an+1 em módulo e calculamos o limite do quociente. Precisaremos escrever o termo geral an, considerar seu valor absoluto e aplicar o limite do quociente.

Passo 2

O termo geral da nossa série é an = (-1)^n+1dfracn^2 2^nn!. Como o teste da razão usa valores absolutos, definimos |an| = dfracn^2 2^nn!. Lembrando que a série converge absolutamente se L = limntoinftyl|an+1/anr| < 1.

Passo 3

Agora calculamos o quociente |an+1/an| em forma algébrica. Temos:
|an+1an| = (n+1)^2,2^n+1/(n+1)!n^2,2^n/n! = 2(n+1)^2(n+1)n^2 = 2n+1n^2

Passo 4

Em seguida, avaliamos o limite desse quociente quando ntoinfty. Como
2n+1n^2 = 2l(1n + 1n^2r)
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limntoinfty2l(1n + 1n^2r) = 0

Passo 5

Como esse limite é menor que 1 (no caso, é zero), o teste da razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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