Mostre que o gráfico da função
tem reta tangente vertical no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f(x) = -x^{1/5} tem reta tangente vertical em (0,0). Isso envolve derivadas e o conceito de tangente vertical, que ocorre quando o coeficiente angular da reta tangente tende a infinito.
Passo 2
Para investigar a tangente em x = 0, usamos a definição de coeficiente angular pela diferença quociente: m = lim_{x->0} (f(x)-f(0))/(x-0). Como f(0) = 0, fica
Passo 3
Agora analisamos o comportamento de x^{-4/5} quando x → 0. Como -4/5 é negativo, x^{-4/5} = 1 / x^{4/5} tende a +∞ tanto pela direita quanto pela esquerda. Portanto
Passo 4
Um coeficiente angular que diverge para menos infinito significa que a reta tangente é vertical no ponto considerado.
Resposta
A reta tangente ao gráfico de f em (0,0) é vertical (x = 0).