Mostre que o gráfico da função f(x)=-x^15 tem reta tangente vertical no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x) = -x^{1/5} tem reta tangente vertical em (0,0). Isso envolve derivadas e o conceito de tangente vertical, que ocorre quando o coeficiente angular da reta tangente tende a infinito.

Passo 2

Para investigar a tangente em x = 0, usamos a definição de coeficiente angular pela diferença quociente: m = lim_{x->0} (f(x)-f(0))/(x-0). Como f(0) = 0, fica
m = limx to 0 -x^1/5 - 0x - 0 = -limx to 0 x^1/5 - 1 = -limx to 0 x^-4/5

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de x^{-4/5} quando x → 0. Como -4/5 é negativo, x^{-4/5} = 1 / x^{4/5} tende a +∞ tanto pela direita quanto pela esquerda. Portanto
m = -limx to 0 x^-4/5 = -infty

Passo 4

Um coeficiente angular que diverge para menos infinito significa que a reta tangente é vertical no ponto considerado.

Resposta

A reta tangente ao gráfico de f em (0,0) é vertical (x = 0).

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