Questão 2: Determine uma função potencial para cada campo conservativo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma função potencial φ(x,y) tal que ∇φ=F, onde F(x,y) tem componentes P(x,y)=cos(xy)−x y sen(xy) e Q(x,y)=x² sen(xy). O conteúdo envolve campos conservativos em R² e a condição de exatidão P_y=Q_x para garantir existência de φ.
Passo 2
Para testar se F é conservativo, calculamos a derivada parcial de P em relação a y. Temos P(x,y)=cos(xy)−x y sen(xy). Assim:
Passo 3
Em seguida calculamos a derivada parcial de Q em relação a x. Como Q(x,y)=x^2,\sin(xy), obtemos:
Passo 4
Comparando as duas derivadas vemos que
e
, ou seja,
. Portanto, F não satisfaz a condição de exatidão e não é um campo conservativo em toda R².
Resposta
Não existe função potencial, pois o campo dado não é conservativo (
).