Questão 2: Determine uma função potencial para cada campo conservativo

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função potencial φ(x,y) tal que ∇φ=F, onde F(x,y) tem componentes P(x,y)=cos(xy)−x y sen(xy) e Q(x,y)=x² sen(xy). O conteúdo envolve campos conservativos em R² e a condição de exatidão P_y=Q_x para garantir existência de φ.

Passo 2

Para testar se F é conservativo, calculamos a derivada parcial de P em relação a y. Temos P(x,y)=cos(xy)−x y sen(xy). Assim: partial Ppartial y=-x,sin(xy)-l[x,sin(xy)+x^2y,cos(xy)r]=-2x,sin(xy)-x^2y,cos(xy)

Passo 3

Em seguida calculamos a derivada parcial de Q em relação a x. Como Q(x,y)=x^2,\sin(xy), obtemos: partial Qpartial x=2x,sin(xy)+x^2y,cos(xy)

Passo 4

Comparando as duas derivadas vemos que partial P/partial y=-2x,sin(xy)-x^2y,cos(xy) e partial Q/partial x=2x,sin(xy)+x^2y,cos(xy), ou seja, partial P/partial yneqpartial Q/partial x. Portanto, F não satisfaz a condição de exatidão e não é um campo conservativo em toda R².

Resposta

Não existe função potencial, pois o campo dado não é conservativo ( partial P/partial yneqpartial Q/partial x).

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