Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
sumn=1^infty 2^n x^n^2

Passo 1

O exercício pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty2^nx^n^2. O conteúdo envolve séries de potências não-convencionais (com expoentes quadráticos) e vamos usar o teste da raiz, que é ideal quando o termo geral tem potências de n no expoente.

Passo 2

O teste da raiz afirma que, para uma série com termo geral an, se
L=limsupntoinftyraiz[n]|an|,
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 3

No nosso caso o termo geral é an=2^nx^n^2. Vamos calcular
raiz[n]|an|=raiz[n]2^n,|x|^n^2=2;|x|^n

Passo 4

Agora analisamos o comportamento de 2,|x|^n quando ntoinfty:
  • Se |x|<1, então |x|^nto0 e o limite é 0, logo L<1 e a série converge.
  • Se |x|=1, o limite é 2>1 e a série diverge.
  • Se |x|>1, |x|^ntoinfty e o limite é +infty>1, logo diverge.

Resposta

O intervalo máximo de convergência é (-1,1).

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