Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
O exercício pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências
. O conteúdo envolve séries de potências não-convencionais (com expoentes quadráticos) e vamos usar o teste da raiz, que é ideal quando o termo geral tem potências de
no expoente.
Passo 2
O teste da raiz afirma que, para uma série com termo geral
, se
então a série converge se
Passo 3
No nosso caso o termo geral é
. Vamos calcular
Passo 4
Agora analisamos o comportamento de
quando
:
- Se
, então e o limite é 0, logo e a série converge. - Se
, o limite é e a série diverge. - Se
, e o limite é , logo diverge.
Resposta
O intervalo máximo de convergência é (-1,1).