Questão 2: Determine uma função potencial para cada campo conservativo

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y,z) = (6xy^3 + 2z^2,;9x^2y^2,;4xz + 1). Esse exercício trata de campos conservativos e funções potenciais; para resolver, precisamos encontrar uma função phi(x,y,z) cuja gradiente seja igual a F.

Passo 2

Em teoria, um campo é conservativo se nablatimes F = 0 num domínio simplesmente conexo. Aqui já está garantido que F é conservativo, então partimos direto para achar phi.

Passo 3

Começamos integrando partialphi/partial x = 6xy^3 + 2z^2 em relação a x, obtendo:
phi(x,y,z) = integral (6xy^3 + 2z^2),dx = 3x^2 y^3 + 2x z^2 + C1(y,z)
Para determinar C1(y,z), derivamos essa expressão em relação a y e igualamos à componente Q = 9x^2y^2:
partialphipartial y = 9x^2y^2 + partial C1partial y = 9x^2y^2 Longrightarrow partial C1partial y = 0,
logo C1(y,z) = C2(z).

Passo 4

Agora derivamos em relação a z e comparamos com R = 4xz + 1 para achar C2(z):
partialphipartial z = 4xz + C2'(z) = 4xz + 1 Longrightarrow C2'(z) = 1,
portanto C2(z) = z + C.

Passo 5

Reunindo tudo, a função potencial fica
phi(x,y,z) = 3x^2y^3 + 2x z^2 + z + C
Podemos escolher C=0 sem perder generalidade.

Resposta

phi(x,y,z) = 3x^2y^3 + 2x z^2 + z + C

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