Seja f uma função ímpar e seja m o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da f em (a, b). Mostre que o gráfico da f possui reta tangente em (-a,-b) e encontre o coeficiente angular dessa reta tangente.

Passo 1

A função é ímpar, ou seja, satisfaz f(-x)=-f(x). Sabemos que existe reta tangente em (a,b) com coeficiente angular m=f'(a). O que queremos é mostrar que em (-a,-b) também existe tangente e achar seu coeficiente angular.

Passo 2

Para encontrar f'(-a), aplicamos a definição de função ímpar e diferenciamos f(-x)=-f(x). Usando a regra da cadeia temos:
ddxl(f(-x)r)=f'(-x)cdot(-1)
e do outro lado
ddx(-f(x))=-f'(x)
Logo,
-f'(-x)=-f'(x)Longrightarrow f'(-x)=f'(x)

Passo 3

Como f'(-x)=f'(x) para todo x, em particular para x=a temos f'(-a)=f'(a)=m. Além disso, pela ímparidade,
f(-a)=-f(a)=-b,
então o ponto de tangência é (-a,-b) e o coeficiente angular é m.

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente em (-a,-b) é m.

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