Seja
uma função ímpar e seja
o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da
em
. Mostre que o gráfico da
possui reta tangente em
e encontre o coeficiente angular dessa reta tangente.
Passo 1
A função é ímpar, ou seja, satisfaz
. Sabemos que existe reta tangente em
com coeficiente angular
. O que queremos é mostrar que em
também existe tangente e achar seu coeficiente angular.
Passo 2
Para encontrar
, aplicamos a definição de função ímpar e diferenciamos
. Usando a regra da cadeia temos:
e do outro lado
Logo,
Passo 3
Como
para todo
, em particular para
temos
. Além disso, pela ímparidade,
então o ponto de tangência é
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente em
é
.