Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
sumn=1^infty (2 n)!(n!)^2 x^2 n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (2n)!(n!)^2 x^2n. O conteúdo principal é teste da razão (ou de Cauchy-Hadamard) para séries de potências e vamos precisar usar manipulação de fatoriais e limites.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Defina an = (2n)!(n!)^2 x^2n. Então consideramos L = limntoinfty |an+1an|.

Passo 3

Calculemos an+1an:
an+1an =(2n+2)!((n+1)!)^2 x^2n+2(2n)!(n!)^2 x^2n =(2n+2)!(2n)!cdot (n!)^2((n+1)!)^2cdot x^2
Agora simplificamos os fatoriais:
(2n+2)!(2n)!=(2n+1)(2n+2), (n!)^2((n+1)!)^2=1(n+1)^2
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an+1an=(2n+1)(2n+2)(n+1)^2,x^2

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L=limntoinfty(2n+1)(2n+2)(n+1)^2,|x|^2 =4,|x|^2
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, isto é:
4,|x|^2<1 Rightarrow |x|<12

Passo 5

Falta verificar os extremos x=pmtfrac12. Se x=pmtfrac12, o termo geral fica
(2n)!(n!)^2l(tfrac12r)^2n =(2n)!(n!)^214^n =binom2nn4^n
Usando o fato de que binom2nnsim4^nraizpi n para n grande, o termo geral é assimptoticamente 1/raizpi n, que não é nulo e leva à divergência (semelhante a uma série harmônica). Portanto diverge em x=pmtfrac12.

Resposta

(-1/2, 1/2)

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