Seja
uma função par e seja
o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da
em
. Mostre que o gráfico da
possui reta tangente em
e encontre o coeficiente angular dessa reta tangente.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função par
, ou seja, satisfaz
, e que a reta tangente ao seu gráfico no ponto
existe com coeficiente angular
. Precisamos mostrar que existe reta tangente em
e encontrar seu coeficiente angular.
Passo 2
Para funções pares, vale a propriedade
. Vamos diferenciar essa igualdade em relação a
usando a regra da cadeia no primeiro termo.
Derivando ambos os lados, o lado esquerdo dá e o direito
. Logo
, isto é,
.
Derivando ambos os lados, o lado esquerdo dá
Passo 3
Substituindo
na relação
, obtemos
. Como sabemos que
, segue
.
Passo 4
Portanto,
é diferenciável em
e o coeficiente angular da reta tangente no ponto
é
.