Seja f uma função par e seja m o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da f em (a, b). Mostre que o gráfico da f possui reta tangente em (-a, b) e encontre o coeficiente angular dessa reta tangente.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função par f, ou seja, satisfaz f(-x)=f(x), e que a reta tangente ao seu gráfico no ponto (a,b) existe com coeficiente angular m. Precisamos mostrar que existe reta tangente em (-a,b) e encontrar seu coeficiente angular.

Passo 2

Para funções pares, vale a propriedade f(-x)=f(x). Vamos diferenciar essa igualdade em relação a x usando a regra da cadeia no primeiro termo.
Derivando ambos os lados, o lado esquerdo dá f'(-x)cdot(-1) e o direito f'(x). Logo f'(-x)cdot(-1)=f'(x), isto é, f'(-x)=-f'(x).

Passo 3

Substituindo x=a na relação f'(-x)=-f'(x), obtemos f'(-a)=-f'(a). Como sabemos que f'(a)=m, segue f'(-a)=-m.

Passo 4

Portanto, f é diferenciável em -a e o coeficiente angular da reta tangente no ponto (-a,b) é -m.

Resposta

-m

Exercícios relacionados