Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
sumn=1^infty (x+1)^na^n+b^n, b>a>0

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty (x+1)^na^n + b^n, com parâmetros b>a>0. O conteúdo é convergência de séries de potências e vamos precisar do teste da raiz para encontrar o intervalo de convergência em torno de x0=-1.

Passo 2

Substituindo z = x+1, o termo geral fica un = z^na^n + b^n. Pelo teste da raiz, calculamos
|un|^1/n = |z|(a^n + b^n)^1/n

Passo 3

Como b>a>0, temos
$$\lim_{n\to\infty}(a^n + bn){1/n}
= b, limntoinfty(a^n + b^n)^1/n = b,
L = \lim_{n\to\infty}|u_n|^{1/n}
= \frac{|z|}{b}.
$$

Passo 4

O teste da raiz diz que a série converge se L<1, isto é |z|. Voltando a x, isso significa
|x+1| ou seja
- b < x+1 < b logo
-1 - b < x < b - 1

Passo 5

Faltam conferir os pontos extremos: para x+1=pm b o termo geral não tende a zero, então a série diverge nesses limites.

Resposta

O intervalo máximo de convergência é (-1 - b,; b - 1).

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