Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
A série dada é
, com parâmetros
. O conteúdo é convergência de séries de potências e vamos precisar do teste da raiz para encontrar o intervalo de convergência em torno de
.
Passo 2
Substituindo
, o termo geral fica
. Pelo teste da raiz, calculamos
Passo 3
Como
, temos
$$\lim_{n\to\infty}(a^n + bn){1/n}
= b,
L = \lim_{n\to\infty}|u_n|^{1/n}
= \frac{|z|}{b}.
= \frac{|z|}{b}.
$$
Passo 4
O teste da raiz diz que a série converge se
, isto é
. Voltando a
, isso significa
Passo 5
Faltam conferir os pontos extremos: para
o termo geral não tende a zero, então a série diverge nesses limites.
Resposta
O intervalo máximo de convergência é (-1 - b,; b - 1).