Usando derivação implícita encontre $ \frac{d y}{d x} $ e depois calcule a derivada no referido ponto
$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y^{2}}=1 ; \quad(2,-\sqrt{2})$
Passo 1
O enunciado dá a equação e pede para usar derivação implícita para encontrar e depois avaliar em . O conteúdo aqui é derivação implícita, vamos usar as regras de derivação da função recíproca e de potências.
Passo 2
Aplicar a derivada em ambos os lados da igualdade: .
Calcular cada termo: usando obtemos . E para , pela regra da cadeia . A derivada de 1 é zero.
Passo 3
Substituindo no balanço temos . Agora isolamos : movendo para o outro lado vem .
Resolvendo para obtemos
Passo 4
Para avaliar em , substituímos e :
Resposta
A derivada geral é dydx = -y^32x^2 e, no ponto (2,-raiz2), vale raiz24.