Usando derivação implícita encontre $ \frac{d y}{d x} $ e depois calcule a derivada no referido ponto
$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y^{2}}=1 ; \quad(2,-\sqrt{2})$

Passo 1

O enunciado dá a equação 1x + 1y^2 = 1 e pede para usar derivação implícita para encontrar dydx e depois avaliar em (2, -raiz2). O conteúdo aqui é derivação implícita, vamos usar as regras de derivação da função recíproca e de potências.

Passo 2

Aplicar a derivada em ambos os lados da igualdade: ddxl(tfrac1xr) + ddxl(tfrac1y^2r) = ddx(1).
Calcular cada termo: usando ddx(x^-1) = -x^-2 obtemos ddx(tfrac1x) = -1x^2. E para tfrac1y^2=y^-2, pela regra da cadeia ddx(y^-2) = -2y^-3dydx. A derivada de 1 é zero.

Passo 3

Substituindo no balanço temos -1x^2 - 2y^-3dydx = 0. Agora isolamos dydx: movendo -tfrac1x^2 para o outro lado vem -2y^-3dydx = tfrac1x^2.
Resolvendo para dydx obtemos
dydx = tfrac1x^2-2y^-3 = -y^32x^2

Passo 4

Para avaliar em (2, -raiz2), substituímos x=2 e y=-raiz2:
dydx|(2,-raiz2) = -(-raiz2)^32cdot2^2 = --2raiz28 = 2raiz28 = raiz24

Resposta

A derivada geral é dydx = -y^32x^2 e, no ponto (2,-raiz2), vale raiz24.

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