Use o teste da raiz para verificar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty (2 n)^nn^2 n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty (2n)^nn^2n usando o teste da raiz. Esse conteúdo faz parte de séries numéricas e o teste da raiz nos diz que, para o termo geral an, se L = limntoinfty raiz[n]|an| satisfaz L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Identificamos o termo geral an = (2n)^nn^2n e reescrevemos para facilitar o cálculo da raiz enésima:
an = 2^n,n^nn^2n = 2^nn^n = l(2nr)^n

Passo 3

Agora aplicamos o teste da raiz, calculando
raiz[n]an = raiz[n]l(2nr)^n = 2n

Passo 4

Por fim, avaliamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty 2n = 0,
que é menor que 1. Pelo teste da raiz, isso garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (2n)^nn^2n converge, pois o teste da raiz fornece L = 0 < 1.

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