Obtenha soluções particulares para as equações a seguir. Mostre as etapas da derivação, começando com a solução geral ( L, R, b são constantes).
x y^prime=y+4 x^5 cos ^2(y / x), y(2)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x,dydx=y+4x^5cos^2!l(tfracyxr)
com condição inicial y(2)=0.
Percebemos que o termo tfracyx sugere a substituição típica de equações homogêneas, isto é, definir
v(x)=y(x)x

Passo 2

Fazendo y=x,v temos
dydx=v + x,dvdx
Substituindo em x,y'=y+4x^5cos^2(y/x) obtemos
xl(v + x,tfracdvdxr)=xv+4x^5cos^2(v)
Cancelando xv dos dois lados fica
x^2,dvdx=4x^5cos^2(v) Longrightarrow dvdx=4x^3cos^2(v)

Passo 3

Agora a equação está separável. Escrevemos
dvcos^2(v)=4x^3,dx
Integramos ambos os lados:
integral sec^2(v),dv = integral 4x^3,dx Longrightarrow tan(v)=x^4 + C

Passo 4

Voltando a v=y/x, a solução implícita é
tan!l(yxr)=x^4 + C
Usando y(2)=0 temos à esquerda tan(0/2)=0 e à direita 2^4+C=16+C, logo
0=16+C Longrightarrow C=-16

Passo 5

Substituindo C=-16 e isolando y ficamos com a solução particular
tan!l(yxr)=x^4-16 Longrightarrow yx=arctanl(x^4-16r) Longrightarrow y(x)=x,arctanl(x^4-16r)

Resposta

y(x)=x,arctanl(x^4-16r)

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