A quantidade de um produto químico em um tanque de reação cresce a uma taxa proporcional à quantidade de produto já presente no tempo t. Inicialmente, há 100 gramas do produto no tanque, e a quantidade está aumentando a uma taxa de 20 % por hora. Encontre uma expressão para a quantidade de produto no tanque no instante t.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente tem um tanque com um produto químico cuja quantidade cresce de forma proporcional à quantidade que já está no tanque ao longo do tempo. Inicialmente, tem 100 gramas desse produto, e a quantidade aumenta a uma taxa de 20% por hora. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que diga quanto desse produto vai ter no tanque em qualquer instante de tempo t .

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir essa situação para uma equação matemática. Quando a taxa de crescimento é proporcional à quantidade presente, estamos lidando com crescimento exponencial. A equação geral para isso é:
dQdt = kQ
onde:
  • Q é a quantidade do produto,
  • dQdt é a taxa de variação da quantidade em relação ao tempo,
  • k é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Sabemos que a taxa de crescimento é de 20% por hora. Isso quer dizer que k = 0,20 por hora. Vamos substituir esse valor na equação:
dQdt = 0,20 , Q

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar Q(t) . A solução geral de uma equação diferencial da forma dQdt = kQ é:
Q(t) = Q0 , e^kt
onde Q0 é a quantidade inicial.

Passo 5

Sabemos que inicialmente há 100 gramas do produto, então Q0 = 100 gramas. Vamos substituir Q0 e k na fórmula:
Q(t) = 100 , e^0,20t

Resposta

A quantidade de produto no tanque no instante t é dada por:
Q(t) = 100 , e^0,20t gramas

Exercícios relacionados