A quantidade de um produto químico em um tanque de reação cresce a uma taxa proporcional à quantidade de produto já presente no tempo
. Inicialmente, há 100 gramas do produto no tanque, e a quantidade está aumentando a uma taxa de
por hora. Encontre uma expressão para a quantidade de produto no tanque no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente tem um tanque com um produto químico cuja quantidade cresce de forma proporcional à quantidade que já está no tanque ao longo do tempo. Inicialmente, tem 100 gramas desse produto, e a quantidade aumenta a uma taxa de 20% por hora. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que diga quanto desse produto vai ter no tanque em qualquer instante de tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir essa situação para uma equação matemática. Quando a taxa de crescimento é proporcional à quantidade presente, estamos lidando com crescimento exponencial. A equação geral para isso é:
onde:
-
é a quantidade do produto, -
é a taxa de variação da quantidade em relação ao tempo, -
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Sabemos que a taxa de crescimento é de 20% por hora. Isso quer dizer que
por hora. Vamos substituir esse valor na equação:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar
. A solução geral de uma equação diferencial da forma
é:
onde
é a quantidade inicial.
Passo 5
Sabemos que inicialmente há 100 gramas do produto, então
gramas. Vamos substituir
e
na fórmula:
Resposta
A quantidade de produto no tanque no instante
é dada por: