Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a.
a.
Passo 1
O problema dá uma EDO de primeira ordem não linear com condição inicial:
dy/dx = y/x + (2x^3/y) cos(x^2), y(√(π/2))=√π
O conteúdo envolvido é transformar a equação usando u=y² para obter uma EDO linear em u e depois aplicar fator integrante.
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados por 2y e usamos u=y². Assim:
Então definindo u=y², fica
Passo 3
Essa é uma EDO linear em u. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por x^{-2} obtemos
Passo 4
Agora integramos ambos os lados:
Logo
Passo 5
Usamos a condição inicial. Em x_0=√(π/2) temos x_0²=π/2 e u(x_0)=y(x_0)²=π. Assim
Portanto u=2x2\sin(x2).
Passo 6
Voltando a y, temos
Pela condição inicial y(√(π/2))=√π>0, escolhemos o sinal positivo.