Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a. ld yd x=yx+(2 x^3y) cos (x^2), y(raizpi2)=raizpi

Passo 1

O problema dá uma EDO de primeira ordem não linear com condição inicial:
dy/dx = y/x + (2x^3/y) cos(x^2), y(√(π/2))=√π
O conteúdo envolvido é transformar a equação usando u=y² para obter uma EDO linear em u e depois aplicar fator integrante.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por 2y e usamos u=y². Assim:
ddx(y^2)=2ydydx=2yl(yx+2x^3ycos(x^2)r)=2y^2x+4x^3cos(x^2)
Então definindo u=y², fica
dudx-2xu=4x^3cos(x^2)

Passo 3

Essa é uma EDO linear em u. O fator integrante é
mu(x)=e^integral -2/x,dx=x^-2
Multiplicando a EDO por x^{-2} obtemos
x^-2dudx-2x^-3u=4xcos(x^2)Longrightarrowddxl(x^-2ur)=4xcos(x^2)

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
x^-2u=integral4xcos(x^2),dx=2sin(x^2)+C
Logo
u=x^2l(2sin(x^2)+Cr)

Passo 5

Usamos a condição inicial. Em x_0=√(π/2) temos x_0²=π/2 e u(x_0)=y(x_0)²=π. Assim
pi=tfracpi2l(2sin(tfracpi2)+Cr)=pi+tfracpi2C Longrightarrow C=0
Portanto u=2x2\sin(x2).

Passo 6

Voltando a y, temos
y=pmraizu=pm xraiz2sin(x^2)
Pela condição inicial y(√(π/2))=√π>0, escolhemos o sinal positivo.

Resposta

y(x)=xraiz2sin(x^2)

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