Determine o intervalo e raio de convergência das seguintes séries de potências
.
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
O conteúdo envolve teste da raiz (ou de Cauchy) para séries de potências e, em seguida, análise dos extremos do intervalo.
Passo 2
Seja
. Calculamos a raiz enésima de
:
Pelo teste da raiz, a série converge se
.
Passo 3
Da condição
segue o raio de convergência
e o intervalo aberto de convergência
Passo 4
Testamos
. Nesse caso
e o termo geral fica
Como
converge absolutamente (p-série com
), a série converge em
.
Passo 5
Testamos
. Aqui
e o termo geral fica
Como
também converge
, a série converge em
.
Resposta
O raio de convergência é
.
O intervalo de convergência é .
O intervalo de convergência é