Determine o intervalo e raio de convergência das seguintes séries de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(x+1)^{n}}{3^{n} n^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em -1:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(x+1)^{n}}{3^{n}\,n^{3}}.
O conteúdo envolve teste da raiz (ou de Cauchy) para séries de potências e, em seguida, análise dos extremos do intervalo.

Passo 2

Seja a_n = (-1)^n/(3^n n^3). Calculamos a raiz enésima de \bigl|a_n(x+1)^n\bigr|:
\sqrt[n]{\bigl|a_n(x+1)^n\bigr|} = \sqrt[n]{\frac{|x+1|^n}{3^n\,n^3}} = \frac{|x+1|}{3}\,\frac{1}{(n^3)^{1/n}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\frac{|x+1|}{3}.
Pelo teste da raiz, a série converge se \frac{|x+1|}{3}<1.

Passo 3

Da condição \frac{|x+1|}{3}<1 segue o raio de convergência
R = 3
e o intervalo aberto de convergência
-3 < x+1 < 3 \quad\Longrightarrow\quad -4 < x < 2.

Passo 4

Testamos x=2. Nesse caso x+1=3 e o termo geral fica
(-1)^n\,\frac{3^n}{3^n\,n^3} = \frac{(-1)^n}{n^3}.
Como \sum(-1)^n/n^3 converge absolutamente (p-série com p=3>1), a série converge em x=2.

Passo 5

Testamos x=-4. Aqui x+1=-3 e o termo geral fica
(-1)^n\,\frac{(-3)^n}{3^n\,n^3} = \frac{(-1)^n\cdot(-1)^n\,3^n}{3^n\,n^3} = \frac{1}{n^3}.
Como \sum1/n^3 também converge p=3>1, a série converge em x=-4.

Resposta

O raio de convergência é R=3.
O intervalo de convergência é \bigl[-4,\,2\bigr].

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