Encontrar uma série de potências em x que seja convergente à função
f(x)=\frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a série de potências em x que represente
f(x)=\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}
no entorno de x=0. O conteúdo usado será:
  1. A expansão de \ln(1+x) em série de Taylor para |x|<1.
  2. A expansão de \frac1{1+x^2} em série de potências para |x|<1.
  3. A multiplicação (convolução) dessas duas séries para obter a série de f(x).

Passo 2

Recordando as séries usuais para |x|<1:
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{x^n}{n},
\frac1{1+x^2}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\,x^{2k}.

Passo 3

Para obter \displaystyle\frac{\ln(1+x)}{1+x^2} multiplicamos as duas séries:
\frac{\ln(1+x)}{1+x^2} =\biggl(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}\biggr) \biggl(\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\,x^{2k}\biggr).
A multiplicação de séries gera uma nova série
\sum_{m=0}^{\infty}a_m\,x^m,
onde cada coeficiente a_m é a soma das contribuições de todos os pares (n,k) tais que n+2k=m.

Passo 4

Para m\ge1 temos n=m-2k\ge1, logo
a_m =\sum_{\substack{k\ge0\m-2k\ge1}} (-1)^{(m-2k)-1}\frac{1}{\,m-2k\,}\;(-1)^k =\sum_{k=0}^{\lfloor(m-1)/2\rfloor} (-1)^{\,m-1-k}\,\frac{1}{\,m-2k\,}.
Podemos escrever
\frac{\ln(1+x)}{1+x^2} =\sum_{m=1}^{\infty} \Biggl[ \sum_{k=0}^{\lfloor(m-1)/2\rfloor} (-1)^{\,m-1-k}\,\frac{1}{\,m-2k\,} \Biggr]x^m,
válido para |x|<1.

Resposta

\boxed{ \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} =\sum_{m=1}^{\infty} \Biggl( \sum_{k=0}^{\lfloor\frac{m-1}2\rfloor} (-1)^{\,m-1-k}\,\frac{1}{\,m-2k\,} \Biggr)x^m, \quad |x|<1.}

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