Determine o intervalo e raio de convergência das seguintes séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n!)^{2}(x-2)^{n}}{2^{n}(2 n)!}.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo e o raio de convergência da série de potências centrada em x=2:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n!)^{2}(x-2)^{n}}{2^{n}(2n)!}.
O conteúdo necessário é o Teste da Razão para séries de potências, que nos fornece o raio de convergência R, e depois precisamos verificar a convergência nos pontos finais x=2\pm R.

Passo 2

Chamemos de
a_n = \frac{(-1)^{n+1}(n!)^{2}}{2^{n}(2n)!}(x-2)^n.
Para o Teste da Razão consideramos
L = \lim_{n\to\infty}\biggl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\biggr|.
Calculando:
\bigl|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigr| = \frac{(n+1)!^{2}}{2^{\,n+1}(2n+2)!}\,\frac{2^{\,n}(2n)!}{(n!)^{2}}\;|x-2| = \frac{(n+1)^2}{2\,(2n+2)(2n+1)}\,|x-2|.
Como (n+1)^2/[2(2n+2)(2n+1)]=\tfrac{n+1}{4(2n+1)}\to\tfrac1{8}, temos
L = \frac{|x-2|}{8}.
A série converge se L<1, isto é |x-2|<8.

Passo 3

Do item anterior segue que o raio de convergência é
R = 8,
e o intervalo aberto de convergência é
2 - 8 < x < 2 + 8 \quad\Longrightarrow\quad -6 < x < 10.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
  1. Em x=10 temos x-2=8 e os termos ficam
\frac{(-1)^{n+1}(n!)^{2}\,8^n}{2^n\,(2n)!} = (-1)^{n+1}\,\frac{(n!)^2\,4^n}{(2n)!}.
Mas \tfrac{(n!)^2\,4^n}{(2n)!} = 4^n/\binom{2n}{n}\sim \sqrt{\pi n}\to\infty, logo não vão a zero e dá divergência.
  1. Em x=-6 temos x-2=-8 e o termo geral em módulo é igual ao caso anterior, portanto também diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=8 e o intervalo de convergência é
(-6,\,10),
sem incluir os extremos.

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