Determine o intervalo e raio de convergência das seguintes séries de potências
.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo e o raio de convergência da série de potências centrada em
:
O conteúdo necessário é o Teste da Razão para séries de potências, que nos fornece o raio de convergência
, e depois precisamos verificar a convergência nos pontos finais
.
Passo 2
Chamemos de
Para o Teste da Razão consideramos
Calculando:
Como
, temos
A série converge se
, isto é
.
Passo 3
Do item anterior segue que o raio de convergência é
e o intervalo aberto de convergência é
Passo 4
Agora testamos os extremos:
- Em
temos e os termos ficam
Mas
, logo não vão a zero e dá divergência.
- Em
temos e o termo geral em módulo é igual ao caso anterior, portanto também diverge.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
sem incluir os extremos.