Determine o intervalo e raio de convergência das seguintes séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{3^{n}(n+1)}.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em zero
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{n}}{3^{n}(n+1)}
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois examinar as extremidades x=\pm3.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Seja
a_n = (-1)^{n}\,\frac{x^{n}}{3^{n}(n+1)}.
Calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left| \frac{(-1)^{n+1}\,\frac{x^{n+1}}{3^{n+1}(n+2)}}{(-1)^n\,\frac{x^n}{3^n(n+1)}} \right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{3}\,\frac{n+1}{n+2} =\frac{|x|}{3}.
O teste da razão diz que a série converge se L<1, isto é, se \tfrac{|x|}{3}<1.

Passo 3

Da condição \tfrac{|x|}{3}<1 obtemos o raio de convergência
R = 3
e a convergência absoluta para -3<x<3.

Passo 4

Agora checamos x=3. Substituindo na série:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{3^n}{3^n(n+1)} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}.
Como \bigl|1/(n+1)\bigr| é decrescente e tende a zero, pelo teste de Leibniz (série alternada) essa série converge (condicionalmente).

Passo 5

Para x=-3 temos
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(-3)^n}{3^n(n+1)} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1},
que é a série harmônica deslocada e diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=3.
Intervalo de convergência: -3<x<3, inclui x=3 (convergência condicional) e exclui x=-3. Portanto
(-3,3].

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