e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois examinar as extremidades x=\pm3.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão. Seja
a_n = (-1)^{n}\,\frac{x^{n}}{3^{n}(n+1)}.
Calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left| \frac{(-1)^{n+1}\,\frac{x^{n+1}}{3^{n+1}(n+2)}}{(-1)^n\,\frac{x^n}{3^n(n+1)}} \right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{3}\,\frac{n+1}{n+2} =\frac{|x|}{3}.
O teste da razão diz que a série converge se L<1, isto é, se \tfrac{|x|}{3}<1.
Passo 3
Da condição \tfrac{|x|}{3}<1 obtemos o raio de convergência