Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
. (Use o Teste de comparação por limite)
. (Use o Teste de comparação por limite)
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
O método indicado é o Teste de comparação por limite. Vamos achar uma série-padrão com que possamos comparar, usando expansão assintótica ou racionalização.
Passo 2
Para simplificar a diferença de radicais, racionalizamos:
Logo
Passo 3
No denominador,
, então
Assim
Passo 4
Vamos usar comparação por limite com a série-padrão
, que é convergente pois
. Calculamos
Substituindo a forma racionalizada, obtém-se
(detalhes do cálculo seguem a expansão acima). Como
, as duas séries têm o mesmo comportamento.
Passo 5
Como
converge, pela comparação por limite a série dada também converge.
Resposta
A série é convergente.