Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}\left(\sqrt{n^{6}+2}-\sqrt{n^{6}+1}\right)
. (Use o Teste de comparação por limite)

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n,\quad\text{onde}\quad a_n=\sqrt{n}\bigl(\sqrt{n^{6}+2}-\sqrt{n^{6}+1}\bigr).
O método indicado é o Teste de comparação por limite. Vamos achar uma série-padrão com que possamos comparar, usando expansão assintótica ou racionalização.

Passo 2

Para simplificar a diferença de radicais, racionalizamos:
\sqrt{n^6+2}-\sqrt{n^6+1} =\frac{(n^6+2)-(n^6+1)}{\sqrt{n^6+2}+\sqrt{n^6+1}} =\frac{1}{\sqrt{n^6+2}+\sqrt{n^6+1}}.
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a_n =\sqrt{n}\,\frac{1}{\sqrt{n^6+2}+\sqrt{n^6+1}}.

Passo 3

No denominador, \sqrt{n^6+k}=n^3\sqrt{1+\tfrac{k}{n^6}}, então
\sqrt{n^6+2}+\sqrt{n^6+1} =n^3\Bigl(\sqrt{1+\tfrac{2}{n^6}}+\sqrt{1+\tfrac{1}{n^6}}\Bigr) \sim 2\,n^3 \quad(n\to\infty).
Assim
a_n \sim \frac{\sqrt{n}}{2\,n^3} =\frac{1}{2\,n^{5/2}}.

Passo 4

Vamos usar comparação por limite com a série-padrão \sum 1/n^{5/2}, que é convergente pois 5/2>1. Calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n^{5/2}} =\lim_{n\to\infty}n^{5/2}\sqrt{n}\bigl(\sqrt{n^6+2}-\sqrt{n^6+1}\bigr).
Substituindo a forma racionalizada, obtém-se L=1 (detalhes do cálculo seguem a expansão acima). Como 0<L<\infty, as duas séries têm o mesmo comportamento.

Passo 5

Como \sum 1/n^{5/2} converge, pela comparação por limite a série dada também converge.

Resposta

A série é convergente.

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