Determine o intervalo e raio de convergência das seguintes séries de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!(x-3)^{n}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)}.

Passo 1

O enunciado define a série de potências centrada em x_{0}=3:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!\,(x-3)^{n}}{1\cdot 3\cdot5\cdots(2n-1)}.
Queremos encontrar o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Para isso, usaremos o Teste da Razão (d’Alembert), que diz que a série converge se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|<1,
onde a_{n}=\dfrac{n!}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}(x-3)^{n}.

Passo 2

Calculemos a razão entre coeficientes (desprezando momentaneamente o fator (x-3)^{n}):
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{1\cdot3\cdots(2n-1)\cdot(2n+1)}\,(x-3)^{n+1}} {\displaystyle\frac{n!}{1\cdot3\cdots(2n-1)}\,(x-3)^{n}} =\frac{(n+1)!}{n!}\,\frac{1}{2n+1}\,(x-3) =\frac{n+1}{2n+1}\,(x-3).
Tomando valor absoluto e passando ao limite:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+1}\,\bigl|x-3\bigr| =\frac12\,\bigl|x-3\bigr|.
Pela Razão, a série converge se \tfrac12|x-3|<1, i.e.
|x-3|<2.

Passo 3

Dessa condição segue que o raio de convergência é R=2, e o intervalo aberto de convergência é
3-R<x<3+R \quad\Longrightarrow\quad 1<x<5.

Passo 4

Faltam agora os extremos x=1 e x=5. Para x-3=\pm2 o termo geral vale
a_{n} =\frac{n!}{1\cdot3\cdots(2n-1)}(\pm2)^{n}.
Usamos a fórmula do duplo fatorial de ímpares:
1\cdot3\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^{n}\,n!},
logo
a_{n} =\frac{n!}{\displaystyle\frac{(2n)!}{2^{n}n!}}\,(\pm2)^{n} =\frac{(n!)^{2}\,2^{n}}{(2n)!}\,(\pm2)^{n} =\frac{(n!)^{2}\,4^{n}}{(2n)!}\,(\pm1)^{n}.
O módulo do termo é
\bigl|a_{n}\bigr| =\frac{(n!)^{2}\,4^{n}}{(2n)!} =\frac{4^{n}}{\binom{2n}{n}}.
Mas sabe-se que
\binom{2n}{n}\sim\frac{4^{n}}{\sqrt{\pi\,n}} \quad\text{quando }n\to\infty,
portanto
\bigl|a_{n}\bigr|\sim\sqrt{\pi\,n}\quad\longrightarrow\infty,
ou seja, a_{n} não tende a zero em nenhum dos extremos, logo a série diverge em x=1 e em x=5.

Resposta

Raio de convergência: R=2.
Intervalo de convergência: (1,5), sem inclusão dos extremos.

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