Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{3}{1+x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
f(x)=\frac{3}{1+x^{2}}
e seu intervalo de convergência.
Conteúdo: usamos a série geométrica \frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^{n} para \lvert t\rvert<1.

Passo 2

Reconhecemos em \frac{1}{1+x^{2}} o caso com t=-x^{2}. De fato, para \lvert -x^{2}\rvert<1 temos
\frac{1}{1+x^{2}} =\frac{1}{1-(-x^{2})} =\sum_{n=0}^{\infty}(-x^{2})^{n}.

Passo 3

Simplificando ( -x^{2} )^{n} = (-1)^{n}x^{2n}, obtemos
\frac{1}{1+x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}.

Passo 4

Multiplicamos a série por 3 para recuperar f(x):
f(x)=\frac{3}{1+x^{2}} =3\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}3(-1)^{n}x^{2n}.

Passo 5

O critério de convergência decorre de \lvert -x^{2}\rvert<1, isto é,
\lvert x\rvert^{2}<1\quad\Longleftrightarrow\quad\lvert x\rvert<1.

Resposta

A representação em série de potências é
\frac{3}{1+x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}3(-1)^{n}x^{2n},
com intervalo de convergência \lvert x\rvert<1.

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