Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede uma representação em série de potências para
e o intervalo de convergência dessa série.
O conteúdo principal aqui é usar séries geométricas após fatorar a expressão de modo a reconhecer um termo da forma .
O conteúdo principal aqui é usar séries geométricas após fatorar a expressão de modo a reconhecer um termo da forma
Passo 2
Vamos reescrever
de forma a destacar uma série geométrica. Observe que
logo
Passo 3
Sabemos que, para
, vale a expansão em série geométrica
Passo 4
Multiplicando essa série por
, obtemos
Passo 5
A condição de validade da expansão geométrica foi
, isto é
. Além disso, a função original não está definida em
, então a série (na forma de Laurent) converge para