Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{1}{x-x^{4}}\

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências para
f(x)=\frac{1}{x - x^4}
e o intervalo de convergência dessa série.
O conteúdo principal aqui é usar séries geométricas após fatorar a expressão de modo a reconhecer um termo da forma 1/(1 - r).

Passo 2

Vamos reescrever f(x) de forma a destacar uma série geométrica. Observe que
x - x^4 = x\,(1 - x^3),
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f(x)=\frac{1}{x(1 - x^3)}=\frac{1}{x}\,\frac{1}{1 - x^3}.

Passo 3

Sabemos que, para |x^3|<1, vale a expansão em série geométrica
\frac{1}{1 - x^3} = \sum_{n=0}^{\infty} (x^3)^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^{3n}.

Passo 4

Multiplicando essa série por 1/x, obtemos
f(x)=\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty} x^{3n} =\sum_{n=0}^{\infty} x^{3n-1}.

Passo 5

A condição de validade da expansão geométrica foi |x^3|<1, isto é |x|<1. Além disso, a função original não está definida em x=0, então a série (na forma de Laurent) converge para
0<|x|<1.

Resposta

\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^{3n-1},\quad\text{com raio de convergência }|x|<1.}ê

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