Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada.
sumn=1^+infty x^n2^n raizn

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
sumn=1^+inftyx^n2^nraizn
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da raiz (ou teste da razão) para encontrar R e depois verificar a convergência nos extremos x=pm R.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz: seja an=tfrac12^nraizn. Então
limsupntoinftyl|anr|^1/n =limntoinfty12,n^1/(2n) =12,,
pois n^1/(2n)=e^(ln n)/(2n)to1.

Passo 3

Pelo teste da raiz, o raio de convergência é
R=1limsupntoinfty|an|^1/n=2
Logo a série converge absolutamente para |x|<2.

Passo 4

Em x=2 a série fica
sumn=1^infty2^n2^nraizn =sumn=1^infty1raizn,
que é uma série p-com p=tfrac12<=1 e diverge.

Passo 5

Em x=-2 a série fica
sumn=1^infty(-2)^n2^nraizn =sumn=1^infty(-1)^nraizn
Como 1/raizn é decrescente com limite zero, pelo critério de Leibniz ela converge (condicionalmente).

Passo 6

Portanto, a série converge absolutamente para |x|<2, diverge em x=2 e converge condicionalmente em x=-2.

Resposta

Raio de convergência: R=2.
Intervalo de convergência: [-2,2).

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