Determine o intervalo de variação x, sabendo que os lados de um triângulo são expressos por x+10,2 x+4 e 20-2 x.

Passo 1

O enunciado diz que os três segmentos de reta de medidas x+10, 2x+4 e 20-2x formam os lados de um triângulo. O conteúdo é a condição de existência de um triângulo: cada lado deve ser positivo e a soma de quaisquer dois deve ser maior que o terceiro. Vamos aplicar essas desigualdades para determinar o intervalo de x.

Passo 2

Impondo que cada expressão seja positiva, temos:
x+10>0,
2x+4>0,
20-2x>0.
Resolvendo cada uma:
x>-10,
x>-2,
x<10.

Passo 3

Agora aplicamos as três desigualdades de existência do triângulo:
(x+10)+(2x+4) > (20-2x)
(x+10)+(20-2x) > (2x+4)
(2x+4)+(20-2x) > (x+10)
Simplificando cada uma:
  1. (x+10)+(2x+4) > 20-2x \;3x+14 > 20-2x \;5x > 6 \;x > \tfrac{6}{5}. 2. (x+10)+(20-2x) > 2x+4 \;30 - x > 2x+4 \;26 > 3x \;x < \tfrac{26}{3}. 3. (2x+4)+(20-2x) > x+10 \;24 > x+10 \;x < 14.

Passo 4

Reunindo todas as restrições:
  • De positividade: x>-2 e x<10.
  • De existência do triângulo: x>\tfrac{6}{5}, x<\tfrac{26}{3} e x<14.
A condição mais restritiva para o limite inferior é x>\tfrac{6}{5} e para o limite superior é x<\tfrac{26}{3}.

Resposta

O valor de x deve satisfazer
\tfrac{6}{5} < x < \tfrac{26}{3}.

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