Mostre que
arctan x=sum0^+infty(-1)^n x^2 n+12 n+1,|x|<1
Sugestão: verifique que sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n=11+x^2,|x|<1, e integre termo a termo de 0 at.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
arctan x = sumn=0^+infty(-1)^nx^2n+12n+1, |x|<1
O conteúdo principal é o uso da série geométrica para 11+x^2 e depois integrar termo a termo de 0 até x.

Passo 2

Começamos pela série geométrica com razão -x^2. Para |x|<1 vale
sumn=0^+infty(-1)^nx^2n = 11-(-x^2) = 11+x^2,

Passo 3

Agora integramos ambos os lados de t=0 até t=x. Pelo teorema de integração termo a termo (válido para séries de potências em |t|<= R<1) temos
integral0^xsumn=0^+infty(-1)^nt^2n,dt = sumn=0^+infty(-1)^nintegral0^xt^2n,dt = sumn=0^+infty(-1)^nx^2n+12n+1
No lado esquerdo, como ddt(arctan t)=11+t^2, obtemos
integral0^x11+t^2,dt = arctan x - arctan 0 = arctan x

Passo 4

Igualando os dois resultados da integração, concluímos que
arctan x = sumn=0^+infty(-1)^nx^2n+12n+1,
válido para |x|<1.

Resposta

arctan x = sumn=0^+infty(-1)^nx^2n+12n+1,;|x|<1

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