Seja f(x)=sumn=0^+infty x^nn!. Verifique que
integral0^x f(t) d t=f(x)-1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=sumn=0^inftyx^nn!
e pede para mostrar que
integral0^xf(t),dt = f(x)-1
O conteúdo aqui é integração de séries de potências termo a termo, usando que a série converge uniformemente em qualquer intervalo compacto (pois o raio de convergência é infinito).

Passo 2

Como a série de potências de f converge uniformemente em [0,x], podemos integrar termo a termo:
integral0^xf(t),dt =integral0^xsumn=0^inftyt^nn!,dt =sumn=0^inftyintegral0^xt^nn!,dt =sumn=0^infty1n!,gl[t^n+1n+1gr]0^x =sumn=0^inftyx^n+1(n+1),n!

Passo 3

Observe que (n+1),n!=(n+1)!. Logo
integral0^xf(t),dt =sumn=0^inftyx^n+1(n+1)! =sumk=1^inftyx^kk! =l(sumk=0^inftyx^kk!r)-1 =f(x)-1

Resposta

integral0^xf(t),dt = f(x)-1

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