Use os itens anteriores para concluir que todo polinômio p in Pn pode ser escrito como
p=sumj=0^n p(aj) pj
Em particular, dados valores reais d0, ldots, dn, mostre que sempre existe um único polinômio de ordem menor ou igual a n tal que p(aj)=dj. Este polinômio é dado por p=sumj=0^n dj pj. Esta é a fórmula de interpolação de Lagrange.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos os polinômios de Lagrange
que satisfazem e . O objetivo é provar que qualquer pode ser escrito como
e, em particular, derivar a fórmula de interpolação de Lagrange para valores prescritos .

Passo 2

Como p0,dots,pn é um conjunto de n+1 polinômios linearmente independentes em Pn, ele forma uma base. Logo, existe uma única combinação linear
p(x)=sumj=0^n cj,pj(x)
Basta agora determinar os coeficientes cj.

Passo 3

Avalie essa expressão em x=ak para cada k=0,dots,n. Usando pj(ak)=de<ajk obtemos
p(ak)=sumj=0^n cj,pj(ak) =sumj=0^n cj,de<ajk =ck
Portanto ck=p(ak) e
p(x)=sumj=0^n p(aj),pj(x)

Passo 4

Para interpolação, sejam dados d0,dots,dn. Definimos
q(x)=sumj=0^n dj,pj(x)
Então deg q<= n e
q(ak)=sumj=0^n dj,pj(ak)=dk,
mostrando a existência de um polinômio em Pn que assume esses valores.

Passo 5

Suponha que exista outro rinPn com r(ak)=dk para todo k. Considere h(x)=r(x)-q(x). Então deg h<= n e h(ak)=0 para k=0,dots,n. Logo h tem n+1 raízes distintas, o que força hequiv0. Assim r=q e a interpolação é única.

Resposta

O polinômio interpolador em Pn que satisfaz p(aj)=dj é único e dado por
p(x)=sumj=0^n dj,pj(x)

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