Use os itens anteriores para concluir que todo polinômio
pode ser escrito como
Em particular, dados valores reais
, mostre que sempre existe um único polinômio de ordem menor ou igual a
tal que
. Este polinômio é dado por
. Esta é a fórmula de interpolação de Lagrange.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos os polinômios de Lagrange
que satisfazem
e
. O objetivo é provar que qualquer
pode ser escrito como
e, em particular, derivar a fórmula de interpolação de Lagrange para valores prescritos
.
Passo 2
Como
é um conjunto de
polinômios linearmente independentes em
, ele forma uma base. Logo, existe uma única combinação linear
Basta agora determinar os coeficientes
.
Passo 3
Avalie essa expressão em
para cada
. Usando
obtemos
Portanto
e
Passo 4
Para interpolação, sejam dados
. Definimos
Então
e
mostrando a existência de um polinômio em
que assume esses valores.
Passo 5
Suponha que exista outro
com
para todo
. Considere
. Então
e
para
. Logo
tem
raízes distintas, o que força
. Assim
e a interpolação é única.
Resposta
O polinômio interpolador em
que satisfaz
é único e dado por