Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).
f(x)=x-e^x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar onde a função
f(x)=x - e^x
é crescente ou decrescente e, em seguida, esboçar o gráfico usando todos os limites necessários. Vamos usar derivadas para estudar monotonicidade e calcular limites em pminfty mais o valor em pontos críticos para entender o formato do gráfico.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada para ver onde f cresce ou decresce.
f'(x)=ddxl(x - e^xr)=1 - e^x
Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0Longrightarrow1 - e^x=0Longrightarrow e^x=1Longrightarrow x=0
Como e^x>0 para todo x, segue que:
  • Se x<0, então e^x<1 e f'(x)=1-e^x>0, logo f é crescente em (-infty,0).
  • Se x>0, então e^x>1 e f'(x)=1-e^x<0, logo f é decrescente em (0,+infty).

Passo 3

Agora, calculamos os limites em pminfty e o valor em x=0:
limxto -inftye^x=0 Longrightarrow limxto -inftyf(x) =limxto -inftyl(x-e^xr) =-infty
limxto +inftye^x=+infty Longrightarrow limxto +inftyf(x) =limxto +inftyl(x-e^xr) =-infty
No ponto crítico x=0,
f(0)=0 - e^0 = -1

Passo 4

Com esses dados, o esboço do gráfico é o seguinte:
  • Para xto -infty, f(x)to -infty, aproximando-se da reta oblíqua y=x (pois f(x)-x=-e^xto0).
  • Em (-infty,0) o gráfico sobe até atingir o máximo em l(0,-1r).
  • Em (0,+infty) o gráfico desce e volta a -infty rapidamente, já que e^x domina x.
O resultado é uma “colina” com topo em (0,-1), ramos indo a -infty em ambas as direções.

Resposta

Cresce em (-infty,0).
Decresce em (0,+infty).
limxto -inftyf(x)=-infty, limxto +inftyf(x)=-infty.
Máximo em (0,-1).
Assíntota oblíqua para xto -infty: y=x.

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