Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar onde a função
é crescente ou decrescente e, em seguida, esboçar o gráfico usando todos os limites necessários. Vamos usar derivadas para estudar monotonicidade e calcular limites em
mais o valor em pontos críticos para entender o formato do gráfico.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada para ver onde
cresce ou decresce.
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Como
para todo
, segue que:
- Se
, então e , logo é crescente em . - Se
, então e , logo é decrescente em .
Passo 3
Agora, calculamos os limites em
e o valor em
:
No ponto crítico
,
Passo 4
Com esses dados, o esboço do gráfico é o seguinte:
- Para
, , aproximando-se da reta oblíqua (pois ). - Em
o gráfico sobe até atingir o máximo em . - Em
o gráfico desce e volta a rapidamente, já que domina .
O resultado é uma “colina” com topo em
, ramos indo a
em ambas as direções.
Resposta
Cresce em
.
Decresce em .
,
.
Máximo em .
Assíntota oblíqua para :
.
Decresce em
Máximo em
Assíntota oblíqua para