x cdot C6 H12 O6 y cdot CO2+z cdot C2 H5 OH
Uma das formas de equilibrar essa equação é igualar, em seus dois membros, as quantidades de átomos de cada elemento químico Esse processo dá origem ao seguinte sistema linear:
l 6 x=y+2 z 12 x=6 z 6 x=2 y+z
Determine o conjunto-solução do sistema e calcule os menores valores inteiros positivos de x, y e z que formam uma das soluções desse sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tem uma equação química que precisa ser equilibrada. O conteúdo envolvido é o de equilíbrio de equações químicas usando sistemas lineares. Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações que iguale o número de átomos de cada elemento nos dois lados da reação e resolver esse sistema para encontrar os valores de x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
x cdot C6H12O6 y cdot CO2 + z cdot C2H5OH
Aqui, C6H12O6 representa a glicose, CO2 é o dióxido de carbono e C2H5OH é o etanol.

Passo 3

Para equilibrar a equação, precisamos que o número de átomos de cada elemento seja o mesmo nos dois lados. Vamos contar os átomos de cada elemento na glicose e nos produtos.

Na glicose ( C6H12O6 ):

  • Carbono (C): 6
  • Hidrogênio (H): 12
  • Oxigênio (O): 6

Nos produtos:

  • Em CO2 :
    • C: 1
    • O: 2
  • Em C2H5OH :
    • C: 2
    • H: 6
    • O: 1

Passo 4

Agora, vamos montar as equações para igualar os átomos de cada elemento:
  1. Carbono (C):
6x = y + 2z
Porque temos 6 carbonos na glicose e, nos produtos, cada CO2 contribui com 1 carbono e cada C2H5OH contribui com 2 carbonos.
  1. Hidrogênio (H):
12x = 6z
Temos 12 hidrogênios na glicose e, nos produtos, cada C2H5OH tem 6 hidrogênios.
  1. Oxigênio (O):
6x = 2y + z
Na glicose, há 6 oxigenios. Nos produtos, cada CO2 traz 2 oxigenios e cada C2H5OH traz 1 oxigenio.
Então, o sistema de equações fica:
l 6x = y + 2z 12x = 6z 6x = 2y + z

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Vamos começar simplificando a segunda equação.
Da segunda equação:
12x = 6z
Podemos dividir ambos os lados por 6:
2x = z Rightarrow z = 2x

Passo 6

Agora que sabemos que z = 2x , vamos substituir esse valor nas outras equações.
Primeira equação:
6x = y + 2z 6x = y + 2(2x) 6x = y + 4x 6x - 4x = y 2x = y
Então, y = 2x .

Passo 7

Agora, temos y = 2x e z = 2x . Vamos substituir esses valores na terceira equação para encontrar o valor de x .
Terceira equação:
6x = 2y + z 6x = 2(2x) + 2x 6x = 4x + 2x 6x = 6x
Essa igualdade confirma que as relações y = 2x e z = 2x são válidas para qualquer valor de x . Portanto, podemos escolher o menor valor inteiro positivo para x para obter os menores valores inteiros para y e z .

Passo 8

Escolhemos x = 1 (o menor inteiro positivo). Assim:
y = 2x = 2 times 1 = 2 z = 2x = 2 times 1 = 2

Resposta

Os menores valores inteiros positivos que resolvem o sistema são:
x = 1, y = 2, z = 2

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