Seja R a região delimitada pela reta y=x+1 e a parábola y^2=x+1. Pede-se:
Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido de revolução S2 obtido ao girar a região R cm torno do cixo x, utilizando para isso o método dos cortes transversais ou fatias (Não é necessário calcular a integral).

Passo 1

O enunciado nos dá a região R limitada pela reta
y = x+1
e pela parábola
y^2 = x+1
e pede o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x, usando o método de cortes transversais (fatias perpendiculares ao eixo x). Para isso vamos:
  1. Determinar os pontos de interseção e o intervalo de x.
  2. Expressar, para cada x, as fronteiras em y.
  3. Aplicar a fórmula de volume por fatias
V = integrala^b A(x),dx,
onde A(x) é a área da seção transversal em abscissa x.

Passo 2

Para achar as interseções, escrevemos a parábola como
x = y^2 - 1
e substituímos na reta:
y = (y^2 - 1) + 1 ;Longrightarrow; y^2 - y = 0 ;Longrightarrow; y=0 ou y=1
Assim os pontos de interseção são (-1,0) e (0,1), e a abscissa x varia de -1 a 0.

Passo 3

Em cada xin[-1,0], a parte de baixo da região é dada pela reta
yreta(x)=x+1,
e a parte de cima pelo ramo positivo da parábola
ypar(x)=raizx+1
Como para -1<= x<=0 temos 0<= x+1<=1, segue que
raizx+1>= x+1>=0
Ao girar em torno do eixo x, o raio externo do anel é
R(x)=raizx+1,
e o raio interno é
r(x)=x+1

Passo 4

A área da seção transversal em x é
A(x)=pil(R(x)^2 - r(x)^2r)
Portanto o volume é
V=integral-1^0A(x),dx

Resposta

V = pi integral-1^0 l((raizx+1)^2 ;-;(x+1)^2r),dx

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