Encontre a derivada da função h(t)=\frac{e^{t} \ln (t)}{t^{3}+1}. Indique claramente onde você usa as regras do produto, quociente e cadeia.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(t) = \frac{e^{t}\,\ln(t)}{t^{3}+1}
Para isso vamos usar as seguintes regras:
– Regra do quociente para \displaystyle h(t)=\frac{u(t)}{v(t)}.
– Regra do produto para u(t)=e^{t}\,\ln(t).
– Regra da cadeia (poder-de-t) para v(t)=t^{3}+1.

Passo 2

Calcular u'(t) usando a regra do produto em
u(t)=e^{t}\,\ln(t).
Definindo f(t)=e^{t} e g(t)=\ln(t), temos
f'(t)=e^{t},\quad g'(t)=\frac{1}{t}.
Logo, pela regra do produto,
u'(t)=f'(t)\,g(t)+f(t)\,g'(t) = e^{t}\,\ln(t) + e^{t}\,\frac{1}{t}.

Passo 3

Calcular v'(t) para
v(t)=t^{3}+1.
Pela regra da cadeia (potência),
v'(t)=3\,t^{2}.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente: se
h(t)=\frac{u(t)}{v(t)},
então
h'(t) =\frac{u'(t)\,v(t)\;-\;u(t)\,v'(t)}{\bigl(v(t)\bigr)^{2}}.
Substituindo u,u',v,v':
h'(t) =\frac{\bigl(e^{t}\ln(t)+e^{t}/t\bigr)\,(t^{3}+1) -\bigl(e^{t}\ln(t)\bigr)\,(3t^{2})} {(t^{3}+1)^{2}}.

Passo 5

Podemos fatorar e^{t} no numerador para simplificar a expressão:
h'(t) =\frac{e^{t}\,\Bigl[(\ln(t)+\tfrac{1}{t})(t^{3}+1)-3t^{2}\ln(t)\Bigr]}{(t^{3}+1)^{2}}.

Resposta

h'(t) =\frac{e^{t}\,\Bigl[(\ln(t)+\tfrac{1}{t})(t^{3}+1)-3t^{2}\ln(t)\Bigr]}{(t^{3}+1)^{2}}.

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