Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Este tipo de equação se resolve em duas etapas: primeiro obtemos a solução geral da equação homogênea associada, depois encontramos uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
e montamos a equação característica
Resolvendo-a,
Como as raízes são complexas
, a solução geral homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é
e
não é solução da homogênea (a raiz real simples
não aparece isolada na característica), tentamos
onde
é constante a determinar.
Passo 4
Computamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial original,
Para que isso seja igual a
, precisamos de
. Logo
Resposta
Somando as duas partes, a solução geral da equação diferencial é
com
e
constantes arbitrárias.