Resolva a equação diferencial.
d^2 yd x^2-4 d yd x+5 y=e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2ydx^2 ;-;4,dydx;+;5,y ;=; e^2x
Este tipo de equação se resolve em duas etapas: primeiro obtemos a solução geral da equação homogênea associada, depois encontramos uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
d^2ydx^2 ;-;4,dydx;+;5,y ;=;0
e montamos a equação característica
r^2-4r+5=0
Resolvendo-a,
r = 4 pm raiz16 - 202 = 2 pm i
Como as raízes são complexas 2pm i, a solução geral homogênea é
yh(x) = e^2xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 3

Para achar uma solução particular yp(x) usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é e^2x e e^2x não é solução da homogênea (a raiz real simples r=2 não aparece isolada na característica), tentamos
yp(x) = A,e^2x,
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Computamos as derivadas de yp:
yp' = 2A,e^2x, yp'' = 4A,e^2x
Substituindo na equação diferencial original,
yp'' - 4yp' + 5yp = 4A,e^2x -4l(2A,e^2xr) +5A,e^2x = l(4A -8A +5Ar)e^2x = A,e^2x
Para que isso seja igual a e^2x, precisamos de A=1. Logo
yp(x) = e^2x

Resposta

Somando as duas partes, a solução geral da equação diferencial é
boxedy(x) = e^2xl(C1cos x + C2sin x + 1r),
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

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