Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das seguintes funções e usando o teste da derivada primeira classifique os pontos críticos como pontos de máximo ou mínimo local:
f(x)=x^2+x+2

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^2+x+2 e pede os intervalos de crescimento e decrescimento, além de classificar os pontos críticos usando o teste da derivada primeira.

Passo 2

Calculamos a derivada de f para aplicar o teste da derivada primeira:
f'(x)=2x+1

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0, isto é
2x+1=0Longrightarrow x=-tfrac12
Como f' existe em todo R, esse é o único ponto crítico.

Passo 4

Analisamos o sinal de f':
  • Para x<-tfrac12, por exemplo x=-1, temos f'(-1)=2(-1)+1=-1<0, logo f é decrescente em (-infty,-tfrac12).
  • Para x>-tfrac12, por exemplo x=0, temos f'(0)=1>0, logo f é crescente em (-tfrac12,infty).

Passo 5

Pelo teste da derivada primeira, como f' muda de negativo para positivo em x=-tfrac12, esse ponto é um mínimo local. O valor desse mínimo é
fl(-tfrac12r)=l(-tfrac12r)^2+l(-tfrac12r)+2 =tfrac14-tfrac12+2=tfrac74
Não há pontos de máximo local, pois não há mudança de sinal de positivo para negativo em nenhuma outra raiz de f'.

Resposta

A função é decrescente em (-infty,-tfrac12) e crescente em (-tfrac12,infty). O único ponto crítico é x=-tfrac12, que é um mínimo local com valor f(-tfrac12)=tfrac74. Não há máximo local.

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