Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das seguintes funções e usando o teste da derivada primeira classifique os pontos críticos como pontos de máximo ou mínimo local:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede os intervalos de crescimento e decrescimento, além de classificar os pontos críticos usando o teste da derivada primeira.
Passo 2
Calculamos a derivada de
para aplicar o teste da derivada primeira:
Passo 3
Encontramos os pontos críticos resolvendo
, isto é
Como
existe em todo
, esse é o único ponto crítico.
Passo 4
Analisamos o sinal de
:
- Para
, por exemplo , temos , logo é decrescente em . - Para
, por exemplo , temos , logo é crescente em .
Passo 5
Pelo teste da derivada primeira, como
muda de negativo para positivo em
, esse ponto é um mínimo local. O valor desse mínimo é
Não há pontos de máximo local, pois não há mudança de sinal de positivo para negativo em nenhuma outra raiz de
.
Resposta
A função é decrescente em
e crescente em
. O único ponto crítico é
, que é um mínimo local com valor
. Não há máximo local.