Determine os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os como pontos de máximo ou de mínimo local:
f(x)=1x^2+1

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de f(x)=1x^2+1 e sua classificação como máximo ou mínimo local. Para isso vamos usar o cálculo da derivada primeira para identificar os pontos onde f'(x)=0 ou é indefinida, e em seguida aplicar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira usando a regra do produto, visto que
f(x) = (x^2+1)^-1
Logo,
f'(x) = -1cdot (x^2+1)^-2cdot 2x = -2x(x^2+1)^2

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos ,f'(x)=0 e verificamos onde f' não existe. Como o denominador (x^2+1)^2 nunca zera para xinR, só temos
-2x(x^2+1)^2 = 0 Longrightarrow -2x = 0 Longrightarrow x = 0
Logo, o único ponto crítico é x=0.

Passo 4

Para classificar x=0, usamos a segunda derivada. Derivando f'(x) obtemos
f''(x) = ddxl(-2x(x^2+1)^2r) = 6x^2-2(x^2+1)^3
Avaliam-se em x=0:
f''(0) = 6cdot 0^2-2(0^2+1)^3 = -21 = -2 < 0
Como f''(0)<0, a concavidade de f em x=0 é para baixo, indicando que x=0 é ponto de máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é x=0, que é um ponto de máximo local.

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