Um objeto aquecido a 100 ^circ C é colocado em um quarto a tempetarua ambiente de 20^circ C; um minuto após a temperatura passa do objeto passa a 90^circ C. Admitindo (lei de resfriamento de newton) que a T=T(t) do objeto esteja variando a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do quarto, isto é,
d Td t=alpha(T-20)(alpha constante )
Determine a temperatura do objeto no instante t (suponha t dado em minutos)

Passo 1

O enunciado diz que um objeto inicialmente a 100 ^circC é colocado num ambiente a 20 ^circC e sua temperatura T=T(t) satisfaz a lei de resfriamento de Newton
dTdt=alphal(T-20r),
onde alpha é constante. Queremos encontrar T(t) dado que T(0)=100 e que T(1)=90.

Passo 2

Para resolver a equação diferencial separável, escrevemos
integral dTT-20 ;=;integral alpha,dt
Integrando ambos os lados, obtemos
lnl|T-20r|=alpha t + C

Passo 3

Usando a condição inicial T(0)=100, temos
ln|100-20|=ln 80 = C,
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lnl|T-20r|=alpha t + ln 80
Exponenciando, como T>20, vem
T-20 = 80,e^alpha t

Passo 4

Para determinar alpha, usamos T(1)=90:
90-20=70=80,e^alphaLongrightarrow e^alpha=78 Longrightarrow alpha=ln!l(tfrac78r)

Passo 5

Substituindo esse alpha em T-20=80,e^alpha t, obtemos
T(t)=20+80,e^tln(7/8)
que também se escreve
T(t)=20+80l(tfrac78r)^t

Resposta

T(t)=20+80l(tfrac78r)^t

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