Determine os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades:
$\frac{2}{x-2} \leq \frac{x}{x-2}
\leq 1$

Passo 1

Beleza, vamos resolver a seguinte desigualdade:
2x - 2 <= xx - 2 <= 1
Estamos lidando com desigualdades envolvendo frações algébricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações e desigualdades, além de considerar os valores que tornam o denominador zero, já que esses não são permitidos.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que o denominador x - 2 não pode ser zero, ou seja, x neq 2 . Isso é importante porque não podemos dividir por zero.

Passo 3

Agora, vamos dividir a desigualdade original em duas partes para facilitar a resolução:
  1. 2x - 2 <= xx - 2
  2. xx - 2 <= 1
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 4

Resolvendo a primeira parte:
2x - 2 <= xx - 2
Como os denominadores são iguais e diferentes de zero, podemos comparar os numeradores diretamente:
2 <= x
Isso significa que x >= 2 .

Passo 5

Resolvendo a segunda parte:
xx - 2 <= 1
Vamos subtrair 1 de ambos os lados para simplificar:
xx - 2 - 1 <= 0
Encontramos um denominador comum:
x - (x - 2)x - 2 <= 0 Rightarrow 2x - 2 <= 0
Agora, precisamos determinar quando essa fração é menor ou igual a zero. O numerador é 2, que é sempre positivo, então o sinal da fração depende do denominador:
x - 2 < 0 Rightarrow x < 2

Passo 6

Agora, juntando os resultados das duas partes:
  1. x >= 2
  2. x < 2
Percebemos que não há valores de x que satisfaçam ambas as condições ao mesmo tempo. Portanto, não existe solução que atenda a ambas as desigualdades simultaneamente.

Resposta

Não há valores de x que satisfazem a desigualdade 2x - 2 <= xx - 2 <= 1.

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