Determine os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades:
$\frac{2}{x-2} \leq \frac{x}{x-2}
\leq 1$
$\frac{2}{x-2} \leq \frac{x}{x-2}
Passo 1
Beleza, vamos resolver a seguinte desigualdade:
Estamos lidando com desigualdades envolvendo frações algébricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações e desigualdades, além de considerar os valores que tornam o denominador zero, já que esses não são permitidos.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que o denominador
não pode ser zero, ou seja,
. Isso é importante porque não podemos dividir por zero.
Passo 3
Agora, vamos dividir a desigualdade original em duas partes para facilitar a resolução:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 4
Resolvendo a primeira parte:
Como os denominadores são iguais e diferentes de zero, podemos comparar os numeradores diretamente:
Isso significa que
.
Passo 5
Resolvendo a segunda parte:
Vamos subtrair 1 de ambos os lados para simplificar:
Encontramos um denominador comum:
Agora, precisamos determinar quando essa fração é menor ou igual a zero. O numerador é 2, que é sempre positivo, então o sinal da fração depende do denominador:
Passo 6
Agora, juntando os resultados das duas partes:
Percebemos que não há valores de
que satisfaçam ambas as condições ao mesmo tempo. Portanto, não existe solução que atenda a ambas as desigualdades simultaneamente.
Resposta
Não há valores de
que satisfazem a desigualdade
.