integral duplaD 2 x y d A, D é a região triangular com vértices (0,0),(1,2) e (3,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD 2xy,dA
sobre a região triangular D com vértices em (0,0), (1,2) e (3,0). O conteúdo é cálculo de integral dupla sobre região plana, e vamos precisar escrever limites de integração adequados.

Passo 2

Para descrever D, note que suas arestas são as retas:
;y=0 (base entre x=0 e x=3),
;y=2x (entre (0,0) e (1,2)),
;y=-x+3 (entre (1,2) e (3,0)).

Passo 3

Escolhemos integrar na ordem dy,dx e dividimos em duas faixas de x:
integral duplaD2xy,dA =integralx=0^1!integraly=0^2x2xy,dy,dx +integralx=1^3!integraly=0^-x+32xy,dy,dx

Passo 4

Calcular a primeira parcela:
integraly=0^2x2xy,dy =2xintegral0^2xy,dy =2xcdot(2x)^22 = x,(2x)^2 =4x^3
Logo
integralx=0^14x^3,dx = x^4|0^1 =1

Passo 5

Calcular a segunda parcela:
integraly=0^-x+32xy,dy =2xintegral0^-x+3y,dy =x,(-x+3)^2
Portanto
integralx=1^3x,(-x+3)^2,dx =integral1^3l(x^3-6x^2+9xr),dx =[x^44-2x^3+9x^22]1^3 =4

Passo 6

Somando as duas parcelas temos
1 + 4 = 5

Resposta

5

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