Os vetores dados são soluções de um sistema X^prime=A X. Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em ]-infty, infty[. (O conjunto de soluções é linearmente independente em ]-infty, infty[ ).
X1=[c1 6 -13], X2=[c1 -2 -1] e^-4 t, X3=[c2 3 -2] e^3 t

Passo 1

O enunciado dá três soluções de um sistema linear X'=A,X:
X1=16-13, X2=e^-4t1-2-1, X3=e^3t23-2
Pergunta-se se elas formam um conjunto fundamental em (-infty,infty), ou seja, se são linearmente independentes nesse intervalo. Para isso vamos usar o critério do Wronskiano de soluções vetoriais.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são X1,X2,X3 e calculamos o determinante (Wronskiano):
W(t)=detl[X1;X2;X3r] =det 1 & e^-4t & 2e^3t 6 & -2e^-4t & 3e^3t -13 & -e^-4t & -2e^3t
Fatorando e^-4t da segunda coluna e e^3t da terceira, fica
W(t)=e^-4te^3tdet 1 & 1 & 2 6 & -2 & 3 -13 & -1 & -2 =e^-t,det(V),
onde V é a matriz constante que resta.

Passo 3

Calculamos
det(V) =det 1 & 1 & 2 6 & -2 & 3 -13 & -1 & -2 =1cdotdet-2&3-1&-2 -1cdotdet6&3-13&-2 +2cdotdet6&-2-13&-1
Calculando cada menor:
det-2&3-1&-2=(-2)(-2)-3(-1)=7,
det6&3-13&-2=6(-2)-3(-13)=27,
det6&-2-13&-1=6(-1)-(-2)(-13)=-32
Logo
det(V)=1cdot7 - 1cdot27 + 2cdot(-32) = 7 - 27 -64 = -84

Passo 4

Assim
W(t)=e^-t,(-84)neq0forall,tin(-infty,infty)
Como o Wronskiano nunca se anula, as três soluções são linearmente independentes em todo R e, portanto, formam um conjunto fundamental.

Resposta

Sim, X1,X2,X3 formam um conjunto fundamental em (-infty,infty).

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