Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos os intervalos onde a função
está crescendo e decrescendo, e depois esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está mudando em cada ponto.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos vão nos ajudar a determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Vamos resolver:
Então,
ou
são os pontos críticos.
Passo 4
Com os pontos críticos em mãos, vamos dividir a reta dos números reais em intervalos e analisar o sinal da derivada em cada intervalo. O sinal da derivada nos dirá se a função está crescendo (derivada positiva) ou decrescendo (derivada negativa).
Os intervalos são:
Vamos testar um valor em cada intervalo:
- Para
:
(positivo)
- Para
:
(negativo)
- Para
:
(positivo)
Passo 5
Agora, interpretamos os sinais encontrados:
-
Para
: - Derivada positiva (
) - Portanto, a função está crescendo nesse intervalo.
- Derivada positiva (
-
Para
: - Derivada negativa (
) - Portanto, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Derivada negativa (
-
Para
: - Derivada positiva (
) - Portanto, a função está crescendo nesse intervalo.
- Derivada positiva (
Passo 6
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- A função tem pontos de virada em
e . - Para
, a função sobe. - Entre
e , a função desce. - Para
, a função sobe novamente. - Além disso, podemos notar que a função é uma cúbica com coeficiente positivo, então para
muito negativo, tende a e para muito positivo, tende a .
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
, e está decrescendo no intervalo
.