Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
f(x)=x^3-12 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos os intervalos onde a função f(x) = x^3 - 12x^2 está crescendo e decrescendo, e depois esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está mudando em cada ponto.
A função é:
f(x) = x^3 - 12x^2
Vamos derivar termo a termo:
f'(x) = ddx(x^3) - ddx(12x^2)
f'(x) = 3x^2 - 24x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos vão nos ajudar a determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Vamos resolver:
f'(x) = 0
3x^2 - 24x = 0
3x(x - 8) = 0
Então, x = 0 ou x = 8 são os pontos críticos.

Passo 4

Com os pontos críticos em mãos, vamos dividir a reta dos números reais em intervalos e analisar o sinal da derivada em cada intervalo. O sinal da derivada nos dirá se a função está crescendo (derivada positiva) ou decrescendo (derivada negativa).
Os intervalos são:
  1. x < 0
  2. 0 < x < 8
  3. x > 8
Vamos testar um valor em cada intervalo:
  1. Para x = -1 :
f'(-1) = 3(-1)^2 - 24(-1) = 3 + 24 = 27
(positivo)
  1. Para x = 4 :
f'(4) = 3(4)^2 - 24(4) = 48 - 96 = -48
(negativo)
  1. Para x = 10 :
f'(10) = 3(10)^2 - 24(10) = 300 - 240 = 60
(positivo)

Passo 5

Agora, interpretamos os sinais encontrados:
  1. Para x < 0 :
    • Derivada positiva ( f'(x) > 0 )
    • Portanto, a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Para 0 < x < 8 :
    • Derivada negativa ( f'(x) < 0 )
    • Portanto, a função está decrescendo nesse intervalo.
  3. Para x > 8 :
    • Derivada positiva ( f'(x) > 0 )
    • Portanto, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 6

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • A função tem pontos de virada em x = 0 e x = 8 .
  • Para x < 0 , a função sobe.
  • Entre x = 0 e x = 8 , a função desce.
  • Para x > 8 , a função sobe novamente.
  • Além disso, podemos notar que a função é uma cúbica com coeficiente positivo, então para x muito negativo, f(x) tende a -infty e para x muito positivo, f(x) tende a +infty .

Resposta

A função f(x) = x^3 - 12x^2 está crescendo nos intervalos x < 0 e x > 8 , e está decrescendo no intervalo 0 < x < 8 .

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