Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
f(x)=x^2-x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática, que é f(x) = x^2 - x - 1 . O exercício pede para descobrir em quais intervalos essa função está aumentando (crescente) e diminuindo (decrescente) e também para desenhar o gráfico dela. Para resolver isso, vamos usar a derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser crescente ou decrescente. Se a derivada da função ( f'(x) ) for positiva em um intervalo, então a função está crescendo nesse intervalo. Se a derivada for negativa, a função está decrescendo.

Passo 3

Então, o primeiro passo é encontrar a derivada da função f(x) = x^2 - x - 1 . Vamos derivar termo a termo:
f'(x) = ddx(x^2) - ddx(x) - ddx(1) = 2x - 1 - 0 = 2x - 1

Passo 4

Agora que temos a derivada f'(x) = 2x - 1 , vamos encontrar onde ela é igual a zero, porque esses pontos vão nos ajudar a dividir a reta dos números em intervalos para analisar se a função está crescendo ou decrescendo.
2x - 1 = 0 implies 2x = 1 implies x = 12

Passo 5

Com x = 12 como ponto crítico, vamos dividir a linha dos números em dois intervalos:
  1. x < 12
  2. x > 12
Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo.

Passo 6

Para x < 12 , por exemplo, x = 0 :
f'(0) = 2(0) - 1 = -1 (negativo)
Então, nesse intervalo, a função está decrescendo.

Passo 7

Para x > 12 , por exemplo, x = 1 :
f'(1) = 2(1) - 1 = 1 (positivo)
Então, nesse intervalo, a função está crescendo.

Passo 8

Agora, vamos resumir:
  • A função f(x) = x^2 - x - 1 está decrescendo para x < 12 .
  • A função está crescente para x > 12 .

Passo 9

Por fim, para esboçar o gráfico, sabemos que é uma parábola com a concavidade voltada para cima (já que o coeficiente de x^2 é positivo). O ponto x = 12 é o vértice da parábola, onde a função atinge seu valor mínimo. Podemos calcular esse valor substituindo x = 12 na função:
f(12) = (12)^2 - 12 - 1 = 14 - 12 - 1 = -54
Então, o vértice é (12, -54) .

Resposta

A função f(x) = x^2 - x - 1 está decrescendo para x < 12 e crescente para x > 12 . O gráfico é uma parábola com vértice em (12, -54) .

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