Determine os intervalos onde a função e crescente e decrescente e esboçe o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática, que é
. O exercício pede para descobrir em quais intervalos essa função está aumentando (crescente) e diminuindo (decrescente) e também para desenhar o gráfico dela. Para resolver isso, vamos usar a derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser crescente ou decrescente. Se a derivada da função (
) for positiva em um intervalo, então a função está crescendo nesse intervalo. Se a derivada for negativa, a função está decrescendo.
Passo 3
Então, o primeiro passo é encontrar a derivada da função
. Vamos derivar termo a termo:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar onde ela é igual a zero, porque esses pontos vão nos ajudar a dividir a reta dos números em intervalos para analisar se a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 5
Com
como ponto crítico, vamos dividir a linha dos números em dois intervalos:
Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo.
Passo 6
Para
, por exemplo,
:
Então, nesse intervalo, a função está decrescendo.
Passo 7
Para
, por exemplo,
:
Então, nesse intervalo, a função está crescendo.
Passo 8
Agora, vamos resumir:
- A função
está decrescendo para . - A função está crescente para
.
Passo 9
Por fim, para esboçar o gráfico, sabemos que é uma parábola com a concavidade voltada para cima (já que o coeficiente de
é positivo). O ponto
é o vértice da parábola, onde a função atinge seu valor mínimo. Podemos calcular esse valor substituindo
na função:
Então, o vértice é
.
Resposta
A função
está decrescendo para
e crescente para
. O gráfico é uma parábola com vértice em
.