Determine R e o intervalo de \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(x+2)^{2 n+1}}{2 n+1}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(x+2)^{2n+1}}{2n+1}.
O conteúdo aqui é séries de potência: vamos usar o teste da razão para achar R e depois verificar os extremos do intervalo.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série
a_n = (-1)^{n}\,\frac{(x+2)^{2n+1}}{2n+1}.
Calculemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{\bigl|x+2\bigr|^{2(n+1)+1}/(2(n+1)+1)}{\bigl|x+2\bigr|^{2n+1}/(2n+1)} =\lim_{n\to\infty}\bigl|x+2\bigr|^2\cdot\frac{2n+1}{2n+3} =\bigl|x+2\bigr|^2.
Para convergência, precisamos que esse limite seja menor que 1, ou seja
\bigl|x+2\bigr|^2<1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|x+2\bigr|<1.
Logo o raio de convergência é
R = 1.

Passo 3

A condição \lvert x+2\rvert<1 equivale ao intervalo aberto
-1 < x+2 < 1 \quad\Longrightarrow\quad -3 < x < -1.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
  • Para x=-1 temos x+2=1 e a série vira
    \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{2n+1},
    que é a série alternada de termos decrescentes e com limite zero, logo converge (condicionalmente).
  • Para x=-3 temos x+2=-1 e a série vira
    \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}\frac{1}{2n+1},
    que também é alternada com termos decrescentes e tende a zero, logo converge.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é \bigl[-3,\,-1\bigr].

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