Determine os intervalos onde as funções são contínuas:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os intervalos onde a função
é contínua. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é a razão entre a raiz quadrada
e a expressão linear . - Não há outras condições fornecidas além da expressão acima.
Passo 2
Definição e ideia-chave (aula rápida e simples): uma função
é contínua em um ponto
se o valor de
existe, o limite
existe e esses dois são iguais. Para pontos na fronteira do domínio (por exemplo o menor ponto definido), exige-se apenas o limite vindo do lado em que a função está definida. Regras úteis:
- Se
e são contínuas em , então , e a composição são contínuas em . - A função quociente
é contínua em desde que e sejam contínuas em e .
Passo 3
Analisar o numerador
: a raiz quadrada real
é definida e contínua para
. Aqui
. Logo a condição para o numerador estar definido é
Portanto
está definida e é contínua em todo o intervalo
.
Passo 4
Analisar o denominador
: é uma função polinomial (linear), que está definida e é contínua para todo número real. No entanto, como estamos formando um quociente, é proibido ter
. Então precisamos excluir o ponto
Passo 5
Determinar o domínio de
juntando as duas condições: deve valer
(da raiz) e
(do denominador). Assim o domínio é
Passo 6
Usar as propriedades de continuidade: já que
é contínua em
e
é contínua em
, então o quociente
é contínuo em todo ponto do domínio onde o denominador não se anula. Como no domínio já excluímos
, concluímos por essa regra que
é contínua em todos os pontos de
exceto possivelmente em
.
Passo 7
Verificar continuidade no extremo esquerdo do domínio
: aqui a função está definida (pois
e
), então
Como
e
são contínuas por dentro do domínio, o limite pela direita em
existe e coincide com o valor. Portanto
é contínua em
. (Lembrete: em extremos do domínio consideramos limite lateral e está tudo certo.)
Passo 8
Verificar o ponto
: a função não está definida em
porque o denominador anula. Logo
não pode ser contínua em
. Para entender o tipo de descontinuidade, nota-se que ao aproximar
de
o denominador vai a
enquanto o numerador tende a
, o que causa uma divergência do valor (∞ ou −∞ dependendo do lado). Não precisamos desse detalhe para os intervalos, só confirmar que
está excluído.
Passo 9
Conclusão dos intervalos de continuidade: juntando tudo — domínio
, continuidade em todos os pontos desse domínio e exclusão de
— os intervalos onde
é contínua são