Determine os intervalos onde as funções são contínuas:
p(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os intervalos onde a função
p(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}
é contínua. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é a razão entre a raiz quadrada \sqrt{x+1} e a expressão linear x-2.
  • Não há outras condições fornecidas além da expressão acima.

Passo 2

Definição e ideia-chave (aula rápida e simples): uma função f é contínua em um ponto a se o valor de f(a) existe, o limite \lim_{x\to a} f(x) existe e esses dois são iguais. Para pontos na fronteira do domínio (por exemplo o menor ponto definido), exige-se apenas o limite vindo do lado em que a função está definida. Regras úteis:
  • Se g e h são contínuas em a, então g+h, g\cdot h e a composição g\circ h são contínuas em a.
  • A função quociente g/h é contínua em a desde que g e h sejam contínuas em a e h(a)\neq0.

Passo 3

Analisar o numerador \sqrt{x+1}: a raiz quadrada real \sqrt{t} é definida e contínua para t\ge0. Aqui t=x+1. Logo a condição para o numerador estar definido é
x+1\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge-1.
Portanto \sqrt{x+1} está definida e é contínua em todo o intervalo [ -1,\infty ).

Passo 4

Analisar o denominador x-2: é uma função polinomial (linear), que está definida e é contínua para todo número real. No entanto, como estamos formando um quociente, é proibido ter x-2=0. Então precisamos excluir o ponto
x=2.

Passo 5

Determinar o domínio de p juntando as duas condições: deve valer x\ge-1 (da raiz) e x\neq2 (do denominador). Assim o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge-1\}\setminus\{2\} = [-1,\infty)\setminus\{2\}.

Passo 6

Usar as propriedades de continuidade: já que \sqrt{x+1} é contínua em [ -1,\infty ) e x-2 é contínua em \mathbb{R}, então o quociente
p(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}
é contínuo em todo ponto do domínio onde o denominador não se anula. Como no domínio já excluímos x=2, concluímos por essa regra que p é contínua em todos os pontos de [ -1,\infty ) exceto possivelmente em x=2.

Passo 7

Verificar continuidade no extremo esquerdo do domínio x=-1: aqui a função está definida (pois \sqrt{-1+1}=0 e (-1)-2=-3\neq0), então
p(-1)=\frac{\sqrt{0}}{-3}=0.
Como \sqrt{x+1} e x-2 são contínuas por dentro do domínio, o limite pela direita em -1 existe e coincide com o valor. Portanto p é contínua em x=-1. (Lembrete: em extremos do domínio consideramos limite lateral e está tudo certo.)

Passo 8

Verificar o ponto x=2: a função não está definida em x=2 porque o denominador anula. Logo p não pode ser contínua em x=2. Para entender o tipo de descontinuidade, nota-se que ao aproximar x de 2 o denominador vai a 0 enquanto o numerador tende a \sqrt{3}\neq0, o que causa uma divergência do valor (∞ ou −∞ dependendo do lado). Não precisamos desse detalhe para os intervalos, só confirmar que 2 está excluído.

Passo 9

Conclusão dos intervalos de continuidade: juntando tudo — domínio [ -1,\infty )\setminus\{2\}, continuidade em todos os pontos desse domínio e exclusão de x=2 — os intervalos onde p é contínua são
[-1,2)\quad\text{e}\quad(2,\infty).

Resposta

[-1,2)\cup(2,\infty)

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