Determine os intervalos em que o polinômio indicado possui apenas valores positivos:
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede: determinar os intervalos de
em que
assume apenas valores positivos (isto é, resolver
).
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- O polinômio é
. - Quer-se os valores de
tais que .
Passo 2
Vamos começar simplificando/fatorando o polinômio para ver suas raízes.
Fator comum :
Fator comum
Explicação didática: quando um polinômio tem um fator comum em todos os termos (aqui
), dá para tirá‑lo em evidência. Isso facilita achar as raízes e estudar o sinal, porque o produto de fatores fica mais simples de analisar.
Passo 3
Encontrar as raízes do fator quadrático
. Reescrevendo:
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação
a solução é
onde
,
,
são os coeficientes (aqui
,
,
). O discriminante é
Portanto as raízes são
Estas são as soluções exatas; em valores aproximados:
Passo 4
Agora listamos todas as raízes de
. Do fator
temos raiz
. Das raízes da quadrática temos
e
. Ordenando em ordem crescente:
Esses três pontos partem a reta real em quatro intervalos onde o sinal do polinômio é constante.
Passo 5
Método para decidir onde
: como
é produto de fatores, podemos estudar o sinal de cada fator em cada intervalo e multiplicar os sinais. Alternativamente, testar um ponto em cada intervalo basta, porque o sinal não muda dentro do intervalo (as raízes são isoladas).
Escolho um ponto teste em cada intervalo e calculo
nesses pontos:
-
Intervalo
. Ponto teste: . Logonesse intervalo. -
Intervalo
. Ponto teste: . Logonesse intervalo. -
Intervalo
. Ponto teste: . Logonesse intervalo. -
Intervalo
. Ponto teste: . Logonesse intervalo.
Observação didática: como todas as raízes são simples (multiplicidade
), o sinal do polinômio alterna a cada raiz atravessada. Verificações numéricas acima confirmam isso.
Passo 6
Conclusão da análise de sinais:
exatamente nos intervalos onde obtivemos teste positivo, ou seja:
Repare que os pontos onde
(as raízes) não pertencem aos intervalos porque a desigualdade é estrita
.