Determine os intervalos em que o polinômio indicado possui apenas valores positivos:
p_{3}(x)=x-x^{2}-x^{3}

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \,p_{3}(x)=x-x^{2}-x^{3}\, e pede: determinar os intervalos de \,x\in\mathbb{R}\, em que \,p_{3}(x)\, assume apenas valores positivos (isto é, resolver \,p_{3}(x)>0\,).
Informações fornecidas:
  • O polinômio é \,p_{3}(x)=x-x^{2}-x^{3}\,.
  • Quer-se os valores de \,x\, tais que \,p_{3}(x)>0\,.

Passo 2

Vamos começar simplificando/fatorando o polinômio para ver suas raízes.
Fator comum x:
p_{3}(x)=x-x^{2}-x^{3}=x\,(1-x-x^{2}).
Explicação didática: quando um polinômio tem um fator comum em todos os termos (aqui x), dá para tirá‑lo em evidência. Isso facilita achar as raízes e estudar o sinal, porque o produto de fatores fica mais simples de analisar.

Passo 3

Encontrar as raízes do fator quadrático \,1-x-x^{2}=0. Reescrevendo:
1-x-x^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+x-1=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação \,ax^{2}+bx+c=0\, a solução é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes (aqui a=1, b=1, c=-1). O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=1+4=5.
Portanto as raízes são
x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
Estas são as soluções exatas; em valores aproximados:
\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx-1,618\ldots,\qquad \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx0,618\ldots.

Passo 4

Agora listamos todas as raízes de \,p_{3}(x)\,. Do fator x temos raiz x=0. Das raízes da quadrática temos x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} e x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}. Ordenando em ordem crescente:
\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\;<\;0\;<\;\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.
Esses três pontos partem a reta real em quatro intervalos onde o sinal do polinômio é constante.

Passo 5

Método para decidir onde p_{3}(x)>0: como p_{3}(x) é produto de fatores, podemos estudar o sinal de cada fator em cada intervalo e multiplicar os sinais. Alternativamente, testar um ponto em cada intervalo basta, porque o sinal não muda dentro do intervalo (as raízes são isoladas).
Escolho um ponto teste em cada intervalo e calculo \,p_{3} nesses pontos:
  • Intervalo \,(-\infty,\tfrac{-1-\sqrt{5}}{2}). Ponto teste: x=-2.
    p_{3}(-2)=(-2)-(-2)^{2}-(-2)^{3}=-2-4+8=2>0.
    Logo \,p_{3}(x)>0\, nesse intervalo.
  • Intervalo \,\big(\tfrac{-1-\sqrt{5}}{2},0\big). Ponto teste: x=-1.
    p_{3}(-1)=(-1)-(-1)^{2}-(-1)^{3}=-1-1+1=-1<0.
    Logo \,p_{3}(x)<0\, nesse intervalo.
  • Intervalo \,\big(0,\tfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\big). Ponto teste: x=\tfrac{1}{2}.
    p_{3}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{8}=\tfrac{4-2-1}{8}=\tfrac{1}{8}>0.
    Logo \,p_{3}(x)>0\, nesse intervalo.
  • Intervalo \,\big(\tfrac{-1+\sqrt{5}}{2},\infty\big). Ponto teste: x=1.
    p_{3}(1)=1-1-1=-1<0.
    Logo \,p_{3}(x)<0\, nesse intervalo.
Observação didática: como todas as raízes são simples (multiplicidade 1), o sinal do polinômio alterna a cada raiz atravessada. Verificações numéricas acima confirmam isso.

Passo 6

Conclusão da análise de sinais: \,p_{3}(x)>0\, exatamente nos intervalos onde obtivemos teste positivo, ou seja:
\left(-\infty,\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)\quad\text{e}\quad\left(0,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right).
Repare que os pontos onde p_{3}(x)=0 (as raízes) não pertencem aos intervalos porque a desigualdade é estrita >\,0.

Resposta

\displaystyle \left(-\infty,\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup\left(0,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)

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