é tal que
. Classifique em verdadeira ou falsa:
(I)
(II)
(I)
(II)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
. - Informação útil:
. - Pergunta: classificar como verdadeira ou falsa as afirmações
- (I)
- (II)
- (I)
Passo 2
Usar a informação
. Há um resultado muito prático: se
então
é fator de
. Assim, como
, concluímos que
divide
.
Para obter o quociente, dividimos
por
. Fazendo divisão sintética (coeficientes
) com raiz
:
- Trazer
. - Multiplicar por
dá ; somar a dá . - Multiplicar
por dá ; somar a dá . - Multiplicar
por dá ; somar a dá (resto).
O quociente é o polinômio
. Portanto
Passo 3
Agora fatoramos a quadrática
. Procuramos fatores lineares do tipo
. Observando que
(verificação:
).
Logo a fatoração completa é
Comentário didático rápido: agora que temos
como produto de fatores lineares, o sinal de
em qualquer
é o produto dos sinais desses três fatores. Então basta checar os sinais de
,
e
.
Passo 4
Identificamos os pontos críticos (raízes dos fatores) que mudam o sinal:
,
(porque
dá
) e
. Ordenando na reta numérica:
Analisando os sinais em cada intervalo:
- Para
: , , ⇒ produto . - Para
: , , ⇒ produto . - Para
: , , ⇒ produto . - Para
: , , ⇒ produto .
Assim o sinal de
em cada intervalo é, em ordem:
a partir de
.
Passo 5
Analisar (I):
.
Compare
com
. Calcula-se
logo
. Também
porque
. Portanto
. Pelo quadro de sinais do Passo 4, em
temos
. Assim
Passo 6
Analisar (II):
.
Compare
com
. Calcula-se
portanto
. Também
(é negativo), então
. Pelo quadro de sinais do Passo 4, em
temos
. Assim
Resposta
(I) Falsa
(II) Verdadeira
(II) Verdadeira