p(x)=2 x^{3}-x^{2}-2 x+1 é tal que p(1)=0. Classifique em verdadeira ou falsa:
(I) p\left(\frac{133}{265}\right)>0
(II) p\left(-\frac{357}{358}\right)>0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: p(x)=2x^{3}-x^{2}-2x+1.
  • Informação útil: p(1)=0.
  • Pergunta: classificar como verdadeira ou falsa as afirmações
    • (I) p\!\left(\dfrac{133}{265}\right)>0
    • (II) p\!\left(-\dfrac{357}{358}\right)>0

Passo 2

Usar a informação p(1)=0. Há um resultado muito prático: se p(a)=0 então (x-a) é fator de p(x). Assim, como p(1)=0, concluímos que (x-1) divide p(x).
Para obter o quociente, dividimos p(x) por (x-1). Fazendo divisão sintética (coeficientes 2,\,-1,\,-2,\,1) com raiz 1:
  • Trazer 2.
  • Multiplicar por 1 2; somar a -1 1.
  • Multiplicar 1 por 1 1; somar a -2 -1.
  • Multiplicar -1 por 1 -1; somar a 1 0 (resto).
O quociente é o polinômio 2x^{2}+x-1. Portanto
p(x)=(x-1)\bigl(2x^{2}+x-1\bigr).

Passo 3

Agora fatoramos a quadrática 2x^{2}+x-1. Procuramos fatores lineares do tipo (ax+b)(cx+d). Observando que 2x^{2}+x-1=(2x-1)(x+1) (verificação: 2x\cdot x + 2x\cdot1 -1\cdot x -1\cdot1 = 2x^{2}+2x-x-1=2x^{2}+x-1).
Logo a fatoração completa é
p(x)=(x-1)(2x-1)(x+1).
Comentário didático rápido: agora que temos p(x) como produto de fatores lineares, o sinal de p(x) em qualquer x é o produto dos sinais desses três fatores. Então basta checar os sinais de x-1, 2x-1 e x+1.

Passo 4

Identificamos os pontos críticos (raízes dos fatores) que mudam o sinal: x=-1, x=\dfrac{1}{2} (porque 2x-1=0 x=\tfrac12) e x=1. Ordenando na reta numérica:
- \infty\quad\ldots\quad -1\quad\ldots\quad \tfrac{1}{2}\quad\ldots\quad 1\quad\ldots\quad +\infty.
Analisando os sinais em cada intervalo:
  • Para x>1: x-1>0, 2x-1>0, x+1>0 ⇒ produto +.
  • Para \tfrac{1}{2}<x<1: x-1<0, 2x-1>0, x+1>0 ⇒ produto -.
  • Para -1<x<\tfrac{1}{2}: x-1<0, 2x-1<0, x+1>0 ⇒ produto +.
  • Para x<-1: x-1<0, 2x-1<0, x+1<0 ⇒ produto -.
Assim o sinal de p(x) em cada intervalo é, em ordem: -,\;+\;,\;-\;,\;+ a partir de -\infty.

Passo 5

Analisar (I): x=\dfrac{133}{265}.
Compare \dfrac{133}{265} com \dfrac{1}{2}. Calcula-se
\dfrac{133}{265}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{266-265}{530}=\dfrac{1}{530}>0,
logo \dfrac{133}{265}>\dfrac{1}{2}. Também \dfrac{133}{265}<1 porque 133<265. Portanto \dfrac{133}{265}\in\bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr). Pelo quadro de sinais do Passo 4, em \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr) temos p(x)<0. Assim
p\!\left(\dfrac{133}{265}\right)<0.

Passo 6

Analisar (II): x=-\dfrac{357}{358}.
Compare -\dfrac{357}{358} com -1. Calcula-se
-\dfrac{357}{358}-(-1)=\dfrac{-357+358}{358}=\dfrac{1}{358}>0,
portanto -\dfrac{357}{358}>-1. Também -\dfrac{357}{358}<\dfrac{1}{2} (é negativo), então -\dfrac{357}{358}\in(-1,\tfrac{1}{2}). Pelo quadro de sinais do Passo 4, em (-1,\tfrac{1}{2}) temos p(x)>0. Assim
p\!\left(-\dfrac{357}{358}\right)>0.

Resposta

(I) Falsa
(II) Verdadeira

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