A vazão volumétrica de petróleo, em barris por hora, através de um oleoduto é modelada pela função f(t) abaixo:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 500, & t \in[0,5] \\\\ 100 t, & t \in[5,10] \\\\ 1000, & t \in[10,15] \\\\ 2500-100 t, & t \in[15,20] \\\\ 500 & t \in[20,24] \end{array}\right.
Desenhe o gráfico de f e calcule uma função F(t) que expresse o total escoado pelo oleoduto, escrevendo em uma tabela os subtotais em cada um dos intervalos acima, bem como as integrais definidas associadas a esses subtotais. Finalmente, desenhe o gráfico de F(t) no mesmo período de 24 horas, indicando onde o seu comportamento é constante, onde é linear e onde é quadrático.
Passo 1
O enunciado fornece a vazão volumétrica f(t) (em barris por hora) definida por partes no intervalo de t\in[0,24]:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 500, & t \in[0,5] \\\\ 100 t, & t \in[5,10] \\\\ 1000, & t \in[10,15] \\\\ 2500-100 t, & t \in[15,20] \\\\ 500 & t \in[20,24] \end{array}\right.
O que o enunciado pede:
Desenhar (descrever) o gráfico de f no intervalo de 24 horas.
Calcular uma função F(t) que expresse o total escoado pelo oleoduto até o tempo t (ou seja, F(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(s)\,ds).
Apresentar, em tabela, os subtotais escoados em cada um dos cinco subintervalos, escrevendo as integrais definidas correspondentes.
Desenhar (descrever) o gráfico de F(t) em [0,24], indicando onde F é constante, linear ou quadrática.
Não começo a calcular ainda; apenas listei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Breve aula útil e fórmula chave (a mais importante aqui).
Interpretacão: f(t) é uma taxa (vazão em barris/h). O total escoado entre dois tempos a e b é a área sob a curva f de a até b, isto é
\text{total entre }a\text{ e }b=\int_{a}^{b} f(s)\,ds.
Definição prática que vamos usar: a função acumulada (total até t) é
F(t)=\int_{0}^{t} f(s)\,ds.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, F'(t)=f(t). Assim, onde f é constante, F é linear; onde f é função afim (linear em t), F será quadrática; onde f fosse zero, F seria constante (aqui não há trechos com f=0).
Como integrar: integração de constantes é multiplicação (por exemplo \int c\,dt = c t). Integração de t é \int t\,dt = \tfrac{1}{2}t^2. Integração de a+bt é a t + \tfrac{b}{2}t^2.
Passo 3
Desenho/descrição do gráfico de f (instruções para desenhar e pontos-chave).
Em t=0, f(0)=500. De t=0 até t=5: f é constante igual a 500 (um segmento horizontal).
Em t=5: f(5)=100\cdot 5=500. De t=5 até t=10: f(t)=100 t cresce linearmente de 500 (em t=5) até 1000 (em t=10).
De t=10 até t=15: f é constante 1000 (segmento horizontal).
Em t=15: f(15)=1000. De t=15 até t=20: f(t)=2500-100t decresce linearmente de 1000 (em t=15) até 500 (em t=20).
De t=20 até t=24: f é constante 500.
Pontos-chave a marcar no gráfico de f: (0,500), (5,500), (10,1000), (15,1000), (20,500), (24,500). Entre esses pontos ligar com segmentos horizontais ou retas de inclinação adequada (pendente =100 em [5,10] e pendente =-100 em [15,20]).
Passo 4
Calcular os subtotais (áreas) em cada subintervalo — escrever a integral e calcular passo a passo.
Tabela dos subtotais com as integrais associadas e os acumulados em cada ponto final de subintervalo.
Intervalo [0,5]: \displaystyle\int_{0}^{5}500\,dt=2500. Acumulado em t=5: F(5)=2500.
Intervalo [5,10]: \displaystyle\int_{5}^{10}100t\,dt=3750. Acumulado em t=10: F(10)=2500+3750=6250.
Intervalo [10,15]: \displaystyle\int_{10}^{15}1000\,dt=5000. Acumulado em t=15: F(15)=6250+5000=11250.
Intervalo [15,20]: \displaystyle\int_{15}^{20}(2500-100t)\,dt=3750. Acumulado em t=20: F(20)=11250+3750=15000.
Intervalo [20,24]: \displaystyle\int_{20}^{24}500\,dt=2000. Acumulado em t=24: F(24)=15000+2000=17000.
(Coordenadas importantes para o gráfico de F: (0,0), (5,2500), (10,6250), (15,11250), (20,15000), (24,17000).)
Passo 6
Encontrar explicitamente F(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(s)\,ds em forma peça a peça (cada expressão válida no seu intervalo). Construção: para t dentro de um subintervalo, F(t) é acumulado total até o início desse subintervalo mais a integral de lá até t.
Para t\in[0,5]:
F(t)=\int_{0}^{t}500\,ds=500 t.
Para t\in[5,10]: acumulado até 5 é 2500, mais \int_{5}^{t}100 s\,ds.
Ligar (0,0) a (5,2500) por uma reta de inclinação 500.
Entre (5,2500) e (10,6250) desenhar uma parábola (trecho de 50 t^{2}+1250), curvando para cima; a derivada vai de f(5)=500 até f(10)=1000.
De (10,6250) a (15,11250) traçar uma reta de inclinação 1000.
De (15,11250) a (20,15000) desenhar uma parábola (trecho de -50 t^{2}+2500 t -15000), curvando para baixo; a derivada decresce de 1000 até 500.
De (20,15000) a (24,17000) traçar uma reta de inclinação 500.
Dica prática para esboço: para cada trecho quadrático, compute mais 1–2 pontos internos (por exemplo t=7,8 ou t=17,18) usando as fórmulas de F para posicionar a curvatura com precisão.
Resposta
Gráfico de f: segmento horizontal em 500 para t\in[0,5]; reta crescente f(t)=100t de t=5 a t=10 (de 500 a 1000); segmento horizontal em 1000 para t\in[10,15]; reta decrescente f(t)=2500-100t de t=15 a t=20 (de 1000 a 500); segmento horizontal em 500 para t\in[20,24].