A vazão volumétrica de petróleo, em barris por hora, através de um oleoduto é modelada pela função f(t) abaixo:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 500, & t \in[0,5] \\\\ 100 t, & t \in[5,10] \\\\ 1000, & t \in[10,15] \\\\ 2500-100 t, & t \in[15,20] \\\\ 500 & t \in[20,24] \end{array}\right.
Desenhe o gráfico de f e calcule uma função F(t) que expresse o total escoado pelo oleoduto, escrevendo em uma tabela os subtotais em cada um dos intervalos acima, bem como as integrais definidas associadas a esses subtotais. Finalmente, desenhe o gráfico de F(t) no mesmo período de 24 horas, indicando onde o seu comportamento é constante, onde é linear e onde é quadrático.

Passo 1

O enunciado fornece a vazão volumétrica f(t) (em barris por hora) definida por partes no intervalo de t\in[0,24]:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} 500, & t \in[0,5] \\\\ 100 t, & t \in[5,10] \\\\ 1000, & t \in[10,15] \\\\ 2500-100 t, & t \in[15,20] \\\\ 500 & t \in[20,24] \end{array}\right.
O que o enunciado pede:
  • Desenhar (descrever) o gráfico de f no intervalo de 24 horas.
  • Calcular uma função F(t) que expresse o total escoado pelo oleoduto até o tempo t (ou seja, F(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(s)\,ds).
  • Apresentar, em tabela, os subtotais escoados em cada um dos cinco subintervalos, escrevendo as integrais definidas correspondentes.
  • Desenhar (descrever) o gráfico de F(t) em [0,24], indicando onde F é constante, linear ou quadrática.
Não começo a calcular ainda; apenas listei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Breve aula útil e fórmula chave (a mais importante aqui).
  • Interpretacão: f(t) é uma taxa (vazão em barris/h). O total escoado entre dois tempos a e b é a área sob a curva f de a até b, isto é
\text{total entre }a\text{ e }b=\int_{a}^{b} f(s)\,ds.
  • Definição prática que vamos usar: a função acumulada (total até t) é
F(t)=\int_{0}^{t} f(s)\,ds.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, F'(t)=f(t). Assim, onde f é constante, F é linear; onde f é função afim (linear em t), F será quadrática; onde f fosse zero, F seria constante (aqui não há trechos com f=0).
  • Como integrar: integração de constantes é multiplicação (por exemplo \int c\,dt = c t). Integração de t é \int t\,dt = \tfrac{1}{2}t^2. Integração de a+bt é a t + \tfrac{b}{2}t^2.

Passo 3

Desenho/descrição do gráfico de f (instruções para desenhar e pontos-chave).
  • Em t=0, f(0)=500. De t=0 até t=5: f é constante igual a 500 (um segmento horizontal).
  • Em t=5: f(5)=100\cdot 5=500. De t=5 até t=10: f(t)=100 t cresce linearmente de 500 (em t=5) até 1000 (em t=10).
  • De t=10 até t=15: f é constante 1000 (segmento horizontal).
  • Em t=15: f(15)=1000. De t=15 até t=20: f(t)=2500-100t decresce linearmente de 1000 (em t=15) até 500 (em t=20).
  • De t=20 até t=24: f é constante 500.
Pontos-chave a marcar no gráfico de f: (0,500), (5,500), (10,1000), (15,1000), (20,500), (24,500). Entre esses pontos ligar com segmentos horizontais ou retas de inclinação adequada (pendente =100 em [5,10] e pendente =-100 em [15,20]).

Passo 4

Calcular os subtotais (áreas) em cada subintervalo — escrever a integral e calcular passo a passo.
Intervalo 1: t\in[0,5], f(t)=500.
\text{subtotal}_1=\int_{0}^{5} 500\,dt = 500\cdot(5-0)=500\cdot 5=2500.
Intervalo 2: t\in[5,10], f(t)=100 t.
\text{subtotal}_2=\int_{5}^{10} 100 t\,dt = 100\cdot\left[\tfrac{1}{2}t^{2}\right]_{5}^{10} =50\big(t^{2}\big|_{5}^{10}\big)=50(10^{2}-5^{2})=50(100-25)=50\cdot 75=3750.
Intervalo 3: t\in[10,15], f(t)=1000.
\text{subtotal}_3=\int_{10}^{15} 1000\,dt =1000\cdot(15-10)=1000\cdot 5=5000.
Intervalo 4: t\in[15,20], f(t)=2500-100 t.
\text{subtotal}_4=\int_{15}^{20} (2500-100 t)\,dt =\big[2500 t -50 t^{2}\big]_{15}^{20}.
Calcule as bordas:
\big(2500\cdot 20 -50\cdot 20^{2}\big)-\big(2500\cdot 15 -50\cdot 15^{2}\big) = (50000-20000)-(37500-11250)=30000-26250=3750.
Intervalo 5: t\in[20,24], f(t)=500.
\text{subtotal}_5=\int_{20}^{24} 500\,dt =500\cdot(24-20)=500\cdot 4=2000.
Soma total em 24 horas:
\text{total}=\sum_{i=1}^{5}\text{subtotal}_i =2500+3750+5000+3750+2000=17000.

Passo 5

Tabela dos subtotais com as integrais associadas e os acumulados em cada ponto final de subintervalo.
  • Intervalo [0,5]: \displaystyle\int_{0}^{5}500\,dt=2500. Acumulado em t=5: F(5)=2500.
  • Intervalo [5,10]: \displaystyle\int_{5}^{10}100t\,dt=3750. Acumulado em t=10: F(10)=2500+3750=6250.
  • Intervalo [10,15]: \displaystyle\int_{10}^{15}1000\,dt=5000. Acumulado em t=15: F(15)=6250+5000=11250.
  • Intervalo [15,20]: \displaystyle\int_{15}^{20}(2500-100t)\,dt=3750. Acumulado em t=20: F(20)=11250+3750=15000.
  • Intervalo [20,24]: \displaystyle\int_{20}^{24}500\,dt=2000. Acumulado em t=24: F(24)=15000+2000=17000.
(Coordenadas importantes para o gráfico de F: (0,0), (5,2500), (10,6250), (15,11250), (20,15000), (24,17000).)

Passo 6

Encontrar explicitamente F(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(s)\,ds em forma peça a peça (cada expressão válida no seu intervalo). Construção: para t dentro de um subintervalo, F(t) é acumulado total até o início desse subintervalo mais a integral de lá até t.
  1. Para t\in[0,5]:
F(t)=\int_{0}^{t}500\,ds=500 t.
  1. Para t\in[5,10]: acumulado até 5 é 2500, mais \int_{5}^{t}100 s\,ds.
F(t)=2500+\int_{5}^{t}100 s\,ds =2500 + 50\big(t^{2}-5^{2}\big)=2500 +50 t^{2}-1250 =50 t^{2}+1250.
(Verificação em t=5: 50\cdot 25+1250=1250+1250=2500.)
  1. Para t\in[10,15]: acumulado até 10 é 6250, mais \int_{10}^{t}1000\,ds.
F(t)=6250 +1000(t-10) =1000 t -3750.
(Verificação em t=10: 10000-3750=6250.)
  1. Para t\in[15,20]: acumulado até 15 é 11250, mais \int_{15}^{t}(2500-100 s)\,ds.
F(t)=11250 +\big[2500 s -50 s^{2}\big]_{15}^{t} =11250 +2500 t -50 t^{2} -26250.
Simplificando:
F(t) = -50 t^{2} +2500 t -15000.
(Verificação em t=15: -50\cdot225+37500-15000= -11250+37500-15000=11250.)
  1. Para t\in[20,24]: acumulado até 20 é 15000, mais \int_{20}^{t}500\,ds.
F(t)=15000 +500(t-20)=500 t +5000.
(Verificação em t=20: 10000+5000=15000. Em t=24: 12000+5000=17000.)
Juntando as peças:
F(t)=\left\{\begin{array}{ll} 500 t, & t\in[0,5],\\[4pt] 50 t^{2}+1250, & t\in[5,10],\\[4pt] 1000 t -3750, & t\in[10,15],\\[4pt] -50 t^{2} +2500 t -15000, & t\in[15,20],\\[4pt] 500 t +5000, & t\in[20,24]. \end{array}\right.]

Passo 7

Análise do comportamento de F (onde é constante, linear ou quadrática) e interpretação:
  • Constante: F seria constante em trechos onde f(t)=0. Como f(t)\neq 0 em todo [0,24], F não tem trechos constantes.
  • Linear: onde f é constante, F é linear (reta de inclinação igual à constante). Isso ocorre em
    • [0,5]: f=500 \Rightarrow F(t)=500 t (reta com inclinação 500).
    • [10,15]: f=1000 \Rightarrow F(t)=1000 t -3750 (reta com inclinação 1000).
    • [20,24]: f=500 \Rightarrow F(t)=500 t +5000 (reta com inclinação 500).
  • Quadrática: onde f é afim em t (isto é, f linear), F é uma função quadrática. Isso ocorre em
    • [5,10]: f(t)=100 t \Rightarrow F(t)=50 t^{2}+1250 (parábola côncava para cima).
    • [15,20]: f(t)=2500-100 t \Rightarrow F(t)=-50 t^{2}+2500 t -15000 (parábola côncava para baixo).
  • Resumo: F é linear em [0,5], quadrática em [5,10], linear em [10,15], quadrática em [15,20], linear em [20,24]. Não há trechos constantes.

Passo 8

Instruções para desenhar o gráfico de F e características visuais:
  • Marcar pontos: (0,0), (5,2500), (10,6250), (15,11250), (20,15000), (24,17000).
  • Ligar (0,0) a (5,2500) por uma reta de inclinação 500.
  • Entre (5,2500) e (10,6250) desenhar uma parábola (trecho de 50 t^{2}+1250), curvando para cima; a derivada vai de f(5)=500 até f(10)=1000.
  • De (10,6250) a (15,11250) traçar uma reta de inclinação 1000.
  • De (15,11250) a (20,15000) desenhar uma parábola (trecho de -50 t^{2}+2500 t -15000), curvando para baixo; a derivada decresce de 1000 até 500.
  • De (20,15000) a (24,17000) traçar uma reta de inclinação 500.
Dica prática para esboço: para cada trecho quadrático, compute mais 1–2 pontos internos (por exemplo t=7,8 ou t=17,18) usando as fórmulas de F para posicionar a curvatura com precisão.

Resposta

Gráfico de f: segmento horizontal em 500 para t\in[0,5]; reta crescente f(t)=100t de t=5 a t=10 (de 500 a 1000); segmento horizontal em 1000 para t\in[10,15]; reta decrescente f(t)=2500-100t de t=15 a t=20 (de 1000 a 500); segmento horizontal em 500 para t\in[20,24].
Função acumulada F(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}f(s)\,ds:
F(t)=\left\{\begin{array}{ll} 500 t, & t\in[0,5],\\[4pt] 50 t^{2}+1250, & t\in[5,10],\\[4pt] 1000 t -3750, & t\in[10,15],\\[4pt] -50 t^{2} +2500 t -15000, & t\in[15,20],\\[4pt] 500 t +5000, & t\in[20,24]. \end{array}\right.
Tabela de subtotais (integral em cada intervalo) e acumulados:
  • \displaystyle\int_{0}^{5}500\,dt=2500. F(5)=2500.
  • \displaystyle\int_{5}^{10}100t\,dt=3750. F(10)=6250.
  • \displaystyle\int_{10}^{15}1000\,dt=5000. F(15)=11250.
  • \displaystyle\int_{15}^{20}(2500-100t)\,dt=3750. F(20)=15000.
  • \displaystyle\int_{20}^{24}500\,dt=2000. F(24)=17000.
Comportamento de F:
  • Não há trechos constantes.
  • F é linear em [0,5], [10,15], [20,24] (retas com inclinações 500,1000,500, respectivamente).
  • F é quadrática em [5,10] e [15,20] (parábolas; côncava para cima em [5,10] e côncava para baixo em [15,20]).]

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