1. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty (-3)^n x^nraizn+1

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário: temos a série de potências
sumn=1^infty (-3)^n x^nraizn+1
centrada em zero. Para resolver vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência e depois testar, nos extremos, a convergência usando o teste de Leibniz (caso alternado) e o critério de p-série.

Passo 2

Cálculo do raio de convergência pelo teste da raiz. Aplicamos
limntoinftyraiz[n]|(-3)^n x^nraizn+1| =limntoinfty3|x|,(n+1)^-tfrac12n =3|x|
O teste da raiz diz que a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja, 3|x|<1. Logo o raio de convergência é R=1/3.

Passo 3

Teste no extremo x=1/3: substituindo x=1/3 a série vira
sumn=1^infty(-3)^n(1/3)^nraizn+1= sumn=1^infty(-1)^nraizn+1
Como os termos 1/raizn+1 são positivos, decrescentes e tendem a zero, a série alternada converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.

Passo 4

Teste no extremo x=-1/3: substituindo x=-1/3 a série fica
sumn=1^infty(-3)^n(-1/3)^nraizn+1= sumn=1^infty1raizn+1
Isso é uma p-série com p=1/2 (<1), portanto diverge.

Resposta

Raio de convergência R = 1/3. Intervalo de convergência: (-1/3,,1/3], ou seja, converge para |x|<1/3 e inclui x=1/3, mas não x=-1/3.

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