Determine a transformada de Laplace da função definida pela seguinte expressão analítica:
f(t)=e^3 t cos (2 t) u(t)

Passo 1

A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função f(t)=e^3tcos(2t),u(t). O conteúdo principal envolve a definição de transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento em s quando multiplicamos por e^at.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é dada por
F(s)=Lf(t)=integral0^+inftyf(t)e^-st,dt
No entanto, aqui vamos usar a propriedade de deslocamento no domínio s.

Passo 3

A propriedade de deslocamento afirma que, se Lg(t)=G(s), então
Le^atg(t)=G(s-a)

Passo 4

Precisamos também lembrar da transformada de Laplace de cos(omega t):
Lcos(omega t)=ss^2+omega^2
No nosso caso, omega=2, então
Lcos(2t)=ss^2+4

Passo 5

Aplicando agora a propriedade de deslocamento com a=3, basta substituir s por s-3 na expressão obtida para cos(2t). Assim,
Le^3tcos(2t)= racs-3(s-3)^2+4

Resposta

s-3(s-3)^2+4

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