Determine os intervalos nos quais se tem certeza da existência de soluções.
x y^prime prime prime+(sen(x)) y^prime prime+3 y=cos (x)

Passo 1

O problema pede os intervalos nos quais a equação diferencial de 3º ordem linear tem garantia de existência (e unicidade) de solução. O conteúdo é Teorema de existência e unicidade para EDOs lineares: precisamos que os coeficientes, após escrever a EDO na forma padrão, sejam contínuos.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação
x,y''' + (sin x),y'' + 3y = cos x
na forma padrão, dividindo tudo por x (presumindo x≠0):
y''' + sin xx,y'' + 3x,y = cos xx

Passo 3

Agora identificamos os coeficientes e o termo fonte: A função que multiplica y'' é f2(x)=sin xx, a que multiplica y' é zero, e a que multiplica y é f0(x)=3x. O termo independente é g(x)=cos xx.

Passo 4

Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, precisamos que f2(x),f1(x),f0(x) e g(x) sejam contínuos no intervalo considerado. Aqui só há problema de continuidade em pontos onde dividimos por zero, ou seja, em x=0.
Logo, em qualquer intervalo que não contenha x=0 todos os coeficientes são contínuos, garantindo existência e unicidade de solução para condições iniciais dadas em qualquer ponto desse intervalo.

Resposta

A equação admite solução (única) em qualquer intervalo aberto que não inclua x=0, por exemplo ( -infty,0) e (0,infty).

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