Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
y^prime prime+4 y=sen^2(2 x), y(pi)=0, y^prime(pi)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial para a EDO de segunda ordem
y''+4y=sin^2(2x), y(pi)=0,;y'(pi)=0
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes, usando método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Começamos pela solução geral da equação homogênea associada
y''+4y=0
A equação característica é
r^2+4=0,
cuja raízes são r=pm2i. Logo a solução homogênea é
yh=C1cos(2x)+C2sin(2x)

Passo 3

Reescrevemos o termo não homogêneo usando identidade trigonométrica:
sin^2(2x)=1-cos(4x)2
Então a EDO fica
y''+4y=12-12cos(4x)

Passo 4

Procuramos uma solução particular da forma
yp=A+Bcos(4x)
Calculamos
yp''=-16Bcos(4x),
então
yp''+4yp= -16Bcos(4x)+4A+4Bcos(4x)=4A-12Bcos(4x)
Igualando a tfrac12-tfrac12cos(4x) obtemos
4A=12 Rightarrow A=18,
-12B=-12 Rightarrow B=124

Passo 5

A solução geral da EDO não homogênea é
y(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)+18+124cos(4x)

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais. Em x=pi:
y(pi)=C1+18+124=0 Rightarrow C1=-16,
Derivando
y'(x)=-2C1sin(2x)+2C2cos(2x)-16sin(4x),
e em x=pi fica
y'(pi)=2C2=0 Rightarrow C2=0

Resposta

y(x)=-16cos(2x)+18+124cos(4x)

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