Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método de variação de parâmetros.
Passo 1
Estamos lidando com a EDO não homogênea de segunda ordem
O enunciado é achar a solução geral de
Conteúdo: equações diferenciais, parte não homogênea, método de variação de parâmetros. Vamos precisar primeiro da solução geral da homogênea, depois do Wronskiano e aplicar as fórmulas de variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea associada é
O polinômio característico é , com raízes . Logo as soluções fundamentais são
Passo 3
Calculamos o Wronskiano de e :
Passo 4
Na variação de parâmetros, escrevemos a particular como
yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)
com
u1' = -y2(x),g(x)W(x), u2' = y1(x),g(x)W(x),
onde g(x)=3csc(2x).
Passo 5
Calculando
u1'(x) = -sin(2x)cdot3csc(2x)2 = -32,
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u1(x) = -32x + C1,
mas podemos absorver a constante C1 na solução homogênea.