Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método de variação de parâmetros.
y^prime prime+4 y=3 cossec(2 x), 0

Passo 1

Estamos lidando com a EDO não homogênea de segunda ordem
O enunciado é achar a solução geral de
y'' + 4y = 3csc(2x), 0 < x < tfracpi2
Conteúdo: equações diferenciais, parte não homogênea, método de variação de parâmetros. Vamos precisar primeiro da solução geral da homogênea, depois do Wronskiano e aplicar as fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 4y = 0
O polinômio característico é r^2 + 4 = 0, com raízes r=pm2i. Logo as soluções fundamentais são
y1(x) = cos(2x), y2(x) = sin(2x)

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y1 e y2:
W(x) = y1 & y2 y1' & y2' = cos(2x)cdot(2cos(2x)) - (-2sin(2x))cdotsin(2x) = 2(cos^2(2x)+sin^2(2x)) = 2

Passo 4

Na variação de parâmetros, escrevemos a particular como
yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)
com
u1' = -y2(x),g(x)W(x), u2' = y1(x),g(x)W(x),
onde g(x)=3csc(2x).

Passo 5

Calculando
u1'(x) = -sin(2x)cdot3csc(2x)2 = -32,
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u1(x) = -32x + C1,
mas podemos absorver a constante C1 na solução homogênea.

Passo 6

Agora
u2'(x) = cos(2x)cdot3csc(2x)2 = 32cot(2x)
Integramos:
nu2(x) = 32 integral cot(2x),dx = 32 cdot 12lnl|sin(2x)r| = 34lnl(sin(2x)r) + C2
Também absorvemos C2 na parte homogênea.

Passo 7

A solução particular fica, desprezando as constantes absorvidas,
yp = l(-tfrac32xr)cos(2x) + l(tfrac34lnsin(2x)r)sin(2x)

Passo 8

Portanto a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) - 32xcos(2x) + 34sin(2x)lnl(sin(2x)r)

Resposta

y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) - tfrac32xcos(2x) + tfrac34sin(2x)lnl(sin(2x)r), 0

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